2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（2）

这是一份2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（2），共9页。试卷主要包含了基础知识梳理，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（2）平面向量的运算一、基础知识梳理1.向量的加法运算（1）向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任意向量，规定.（2）向量加法的法则三角形法则已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.平行四边形法则已知两个不共线向量，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.[拓展]向量求和的多边形法则①已知个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即.②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为.（3）向量加法的运算律①交换律：.②结合律：.（4）向量形式的三角不等式一般地，有，当且仅当方向相同时等号成立.2.向量的减法运算（1）相反向量定义：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.性质：①零向量的相反向量仍是零向量.②和互为相反向量，于是.③若互为相反向量，则，，.（2）向量减法的定义定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.3. 向量数乘的定义规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.[注意]当或时，.（结果是向量，而非实数0）4.向量数乘的几何意义的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向扩大或缩小倍.[注意]（1）是实数，是向量，它们的积仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义.（2）单位向量：对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量.5.向量数乘的运算律设为任意实数，则有：①；②；③.特别地，有.6.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.7.向量共线（平行）定理向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.[注意]（1）定理中不能漏掉.若，则实数可以是任意实数；若，则不存在实数，使得.（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数，使，则与共线；若两个非零向量与不共线，且，则必有.8.三点共线的判定定理对于平面内任意三点，若存在实数，使(或或)，则三点共线.9.向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.（2）①当时，向量同向（如图①）.②当时，向量垂直，记作（如图②）.③当时，向量反向（如图③）.10.平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.[注意]（1）零向量与任一向量的数量积等于0，即.（2）数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量.（3）当时，，则是锐角或；当时，，则是钝角或；当时，，则.11.投影向量（1）定义：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.（2）设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则①向量在向量上的投影向量，②向量在向量上的投影向量的模为.[注意]（1）向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量是不同的.（2）投影向量与投影向量的模是不同的概念.12.向量数量积的性质设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1）.（2）.（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.（4）由可得，.（5）13.向量数量积的运算律（1）交换律：.（2）数乘结合律：.（3）分配律：.[注意]不一定成立.因为是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线.因此，在一般情况下不成立.二、巩固练习1.已知向量满足,则(   )A.4 B.3 C.2 D.02.已知向量满足,且与的夹角为,则(   )A.2 B.1 C. D.3.在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.若,则(   )A. B. C. D.4.如图,在空间四边形中,设分别是的中点,则(   )A. B. C. D.5.设非零向量满足，则(   )A.  B.  C.  D. 6.（多选）有下列说法，其中错误的说法为(   ).A.若，，则B.若，则是三角形的垂心C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得7.（多选）在正方体中,下列各式中运算结果为的是()A.B.C.D.8.已知向量满足,,且,则______．9.化简_____________.10.如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．11.已知,则________。12.设为两个不共线的向量，若．（1）若共线，求实数的值；（2）若是夹角为的单位向量，且，求实数的值.

  答案以及解析1.答案：B解析：,故选B.2.答案：B解析：由,解得或(舍去),故,选B.3.答案：C解析：.故选C.4.答案：C解析：因为,所以.故选C.5.答案：B解析：由的几何意义知，以向量为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选B6.答案：AD解析：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；对于选项B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；对于选项D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.故选：AD.7.答案：ABCD解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质逐一进行判断:A中:B中:C中:D中:故选ABCD.8.答案：9解析：向量满足,且,
可得,所以,
则.
故答案为：9.
9.答案：解析：根据空间向量的数乘运算法则可知,原式.10.答案：0解析：如图，连，取的中点，连，则分别为的中位线，所以,所以．由与共线，所以，故．答案：011.答案：解析：。12.答案：（1）由题意：， 令：得：，由得：（2）由题知：得：