人教版三年级上册9 数学广角——集合课堂检测

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【学霸笔记】三年级上册数学同步重难点讲练
第9章 数学广角-集合 第1课时 集合

用直观图解决重叠问题：解决重叠问题，可以从已知条件入手进行分析，画出集合图；借助集合图进行思考，为了不重复计算，应从它们的和中减去重叠部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。
例如：下面是希望小学三年级参加跳远、跑步的学生的名单。
参加跳远的有：李冬 王艳　刘君 陈明　刘静
参加跑步的有：宋文 王艳　刘君 王晓　陈晓明　张奇
(1)请按名单把参加跳远、跑步的学生填在相应的圈里。
(2)参加跑步的有(　6　)人，参加跳远的有(　5　)人。
(3)参加跳远和跑步的一共有(　9　)人。



例1. 把同样长的纸条平均分成3份或4份（如图所示），那么所求长度为（　　）厘米．

A．5.5 B．6 C．6.75 D．7
【分析】第一个图可知：每根6厘米平均分成3份或者平均分成4份；观察第二个图发现：多出的部分是整根直条平均分成4份后，其中的1份又平均分成了2份，先用6厘米除以4，再除以2，就是多出的部分，再加上6厘米即可．
【解答】解：6÷4÷2+6
＝0.75+6
＝6.75（厘米）
答：所求长度为6.75厘米．
故选：C．
【点评】解决本题注意观察图，找出图中平均分的份数，再根据除法的意义求解．
例2. 现有若干个圆环，它们的外直径是6厘米，环宽1厘米，将它们（如图）紧扣在一起，拉紧测量其长度，则2个圆环拉紧后的长度是　10　厘米，8个圆环拉紧后的长度是　34　厘米．

【分析】根据题干可知：1个圆环的长度是6厘米，2个环扣在一起时，总长度是两个环的长度和减去中间重叠部分的2个环宽，即2×1＝2厘米；8个环扣在一起时，总长度是8个环的长度和减去7个中间重叠部分，由此求解．
【解答】解：1×2＝2（厘米）
6+6﹣2＝10（厘米）
6×8﹣2×7
＝48﹣14
＝34（厘米）
答：2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米．
故答案为：10，34．
【点评】解决本题关键是明确重叠部分的数量＝环的个数﹣1．
例3. 等底等高的两个三角形一定能重合起来．　×　．（判断对错）
【分析】根据三角形的面积S＝ah可知：只要是三角形的底和高相等，则它们的面积相等，据此即可得解．
【解答】解：等底等高的两个三角形不一定形状完全相同；
三角形的面积等于底×高÷2，所以等底等高的两个三角形面积一定相等；
所以本题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题考查等底等高的两个三角形的面积相等．
例4. 有两张完全相同的长方形纸板，纸板长12厘米，宽5厘米，小红将这两张纸板重叠放在桌子上（如图）．你能求出拼成的这个图形的周长吗？

【分析】周长比原来减少了4条宽的长度，即比原来减少了重叠部分的边长为5厘米的正方形的周长，然后根据正方形和长方形的周长公式解答即可．
【解答】解：（5+12）×2×2﹣5×4
＝68﹣20
＝48（厘米）
答：这个图形的周长是48厘米．
【点评】本题关键是理解重叠部分的正方形的周长减少了的周长，本题也可以利用“割补法”通过变形求出图形的周长．


一．选择题（共10小题）
1．下面图形的面积是（　　）cm2

A．12 B．11 C．10
2．如图，一个长方形和一个正方形重叠在一起，则∠1（　　）∠2．

A．大于 B．小于 C．等于
3．两个长5厘米、宽2厘米的长方形重叠成下方的图形．它的周长是（　　）

A．49厘米 B．20厘米 C．24厘米 D．18厘米
4．如图，已知正方形和三角形有一部分重叠，三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米，则x＝（　　）厘米．

A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图所示，这条细线拉直后长约（　　）厘米．

A．4 B．5 C．6 D．8
7．每两段绳子打1个结（如图），像这样用10段绳子连起来围成一个圈，一共要打（　　）结．

A．9个 B．10个 C．11个
8．如图，正方形花池中玫瑰花占地，三角形花池中菊花占地，玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是（　　）

A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4
9．把5张同样长的纸连接成一张长纸条，接头处都重叠1厘米时，全长正好是40厘米，每张纸条的长是（　　）厘米．
A．8 B．8.8 C．9 D．9.6
10．两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上（如图）．绕中心点旋转其中一个正方形，两个正方形重叠部分的面积是（　　）平方厘米

A．2 B．3 C．4 D．无法计算
二．填空题（共8小题）
11．已知A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，那么A+B+C＝　 　
12．如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的铁环依次连在一起长　 　厘米，n个铁环连在一起长　 　厘米．

13．如图（图中单位；厘米），大长方形中的阴影部分是一个正方形，大长方形的周长是　 　厘米．

14．两个三角形重叠在一起，重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，则三角形A与三角形B的面积比为　 　．如果三角形B的面积是24平方厘米，那么三角形A的面积是　 　平方厘米．
15．把两根长都是25厘米的铁条焊接为一根，焊接头（如图）长是5厘米，焊接后的铁条长　 　厘米．

16．右面方格图中，图1是边长2厘米的正方形，用两个这样的正方形叠放成图2，用三个这样的正方形叠放成图3，用四个这样的正方形叠放成图4．像这样，用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是　 　平方厘米．

17．如图，将一个直角三角形沿着一条直角边水平移动后，AB＝8，BC＝5，ED＝3，那么阴影部分（即四边形DEGF）的面积　 　．

18．两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的．已知A的面积比B的面积少12平方厘米，那么A的面积是　 　平方厘米，B的面积是　 　平方厘米．

三．判断题（共3小题）
19．有两根长都是100厘米的木条，钉成一根长180厘米的木条，中间钉在一起的重叠部分长是20厘米．　 　（判断对错）
20．用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条（每个接头处都重叠1厘米），那么每张纸条长7厘米．　 　（判断对错）
21．用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米．　 　．（判断对错）
四．应用题（共7小题）
22．思思用一根3米长的竹竿测量一个水池中水的深度，没有触到底．他把两根3米长的竹竿连接起来再测量，已知重叠部分是1米，竹竿触底后顶端刚好和水面持平．池中水深多少米？
23．将3根长短相同的木棒粘在一起，粘好后如图．这3根木棒粘在一起有多长呢？（可以分段求出粘好后木棒的长度哟!）

24．一个长方形与一个正方形部分重合（如图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）

25．有两块各长100厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起的重叠部分是20厘米，钉成的木板长多少厘米？

26．两块50厘米长的木板拼在一起，重叠部分长4厘米，现在两块木板的总长度是多少？它们的总长比1米长还是比1米短？

27．把3根长16分米的绳子连接成一根长绳．
（1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？
（2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？

28．长方形和正方形有一部分重合（如图），两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米？

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】由图意可知，先求出3个正方形的面积，再去掉重叠部分2个1×1的面积，就是图形的面积．据此解答．
【解答】解：2×2×3﹣1×1×2
＝12﹣2
＝10（平方厘米）
答：图形的面积是10平方厘米．
故选：C．
【点评】解决此题的关键在于看懂图意：去掉重叠部分2个1×1的面积．
2．【分析】根据长方形和正方形的特点可知：∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2，解答即可．
【解答】解：如图：

因为∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
所以∠1＝∠2
故选：C．
【点评】此题考查了简单图形的重叠问题，解决本题的关键在于明白∠1、∠2和∠3分别组成一个直角．
3．【分析】根据图得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长，由此利用正方形的周长公式C＝4a进行解答．

【解答】解：5×4＝20（厘米）
答：这个图形的周长是20厘米．
故选：B．
【点评】关键是利用平移的方法得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长．
4．【分析】由“三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米”，可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，由此可得三角形ABE的面积等于正方形的面积加上7平方厘米，求得三角形ABE的面积后，再利用三角形的面积公式求出BE的长后即可求得CE，即X的长．

【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米，

根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，
所以三角形ABE的面积为：7×7+7＝49+7＝56（平方厘米），
又因为AB＝7厘米，
所以BE的长度是：56×2÷7＝16（厘米），
所以CE的长度为：16﹣7＝9（厘米），即X＝9厘米．
答：X的长度是9厘米．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形和正方形面积公式的灵活应用，这里根据题干得出三角形ABE与正方形的面积之差是7平方厘米是解决问题的关键．
5．【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．
【解答】解：设重叠部分面积为c，
a﹣b
＝（a+c）﹣（b+c）
＝16﹣9
＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
6．【分析】因为如果拉直后，应该比现在的长多出2个（5﹣4）厘米，原来重叠后的长是（6﹣2）厘米，进而求出拉直后的长度．
【解答】解：6﹣2+（5﹣4）×2
＝4+2
＝6（厘米）；
答：这条细线拉直后长约6厘米；
故选：C．
【点评】明确重叠的线的长度是2个（5﹣4）厘米，是解答此题的关键．
7．【分析】用8段绳子连起来围成一个圈，有8个间隔，由于是环形排列，每两段绳子打1个结，根据在封闭图形上植树问题的知识可得：间隔数就等于打结的个数，据此解答．
【解答】解：因为圆圈是封闭图形 有10段就有10个结，因此一共要打10结．
故选：B．
【点评】本题要考虑实际情况，属于在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．
8．【分析】把正方形的面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积的： ＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；由此即可求出玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比．
【解答】解：把正方形面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积： ＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；
所以玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是3：2；
故选：B．
【点评】此题较难，应注意转化，求出玫瑰花种植面积是假山面积： ＝3倍，菊花种植面积是假山面积的2倍，是解答此题的关键；用到的知识点：比的意义．
9．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，5个纸条有4个接头，也就是重叠了4厘米，然后加上重叠后的长度40厘米，就可得到5个纸条的长度和，再除以张数5，得到每张纸条的长度．
【解答】解：[40+1×（5﹣1）]÷5，
＝[40+4]÷5，
＝44÷5，
＝8.8（厘米）；
答：每张纸条8.8厘米．
故选：B．
【点评】题解答的关键是弄清5张纸条有4个接头，不要误算成5个接头．
10．【分析】正方形关于中心对称，所以首先通过旋转，可得阴影部分面积等于一个正方形面积的，然后根据正方形的面积公式，求出正方形的面积，进而求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：阴影部分面积等于一个正方形面积的，
所以阴影部分的面积＝4×4×＝4（平方厘米）
答：两个正方形重叠部分的面积是4平方厘米．
故选：C．
【点评】考查重叠问题，正方形的性质；把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，把这三个算式加起来就是A+B+C的2倍，即用27、32、29的和再除以2即可求出A+B+C的和．
【解答】解：A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29把这三个算式相加可得：
A+B+B+C+A+C＝27+32+29
（A+B+C）×2＝88
那么A+B+C＝88÷2＝44．
故答案为：44．
【点评】解决本题注意观察算式的特点，找出A+B+C和的2倍，从而解决问题．
12．【分析】根据题意，先求出两个铁环连在一起，重叠的部分的长度，再求出8个铁环连在一起，重叠的部分的长度，最后求出8个这样的铁环依此连在一起的长度．
【解答】解：两个铁环连在一起重叠的部分的长度是：
16×2﹣28
＝32﹣28
＝4（厘米），
8个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：
4×（8﹣1）
＝4×7
＝28（厘米），
8个这样的铁环依此连在一起的长度：
16×8﹣28
＝128﹣28
＝100（厘米）；
n个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4×（n﹣1）＝4n﹣4（厘米），
n个铁环连在一起长：16n﹣（4n﹣4）
＝16n﹣4n+4
＝12n+4（厘米），
答：8个这样的铁环依此连在一起长100厘米，n个铁环连在一起长（12n+4）厘米．
故答案为：100，（12n+4）．
【点评】解答此题的关键是，如何求出重叠部分的长度，再用总长度减去重叠部分的长度就是要求的答案．
13．【分析】此题可设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，由长方形周长公式可得大长方形的周长是：[（19+12﹣x）+x]×2，据此解答．
【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，因此大长方形的周长是：
[（19+12﹣x）+x]×2
＝31×2
＝62（厘米）；
答：大长方形的周长是62厘米．
故答案为：62．
【点评】此题也可这样理解：（19+12）就是长方形的长和宽的和，由长方形周长公式即可求得大长方形的周长，列式为：（19+12）×2．
14．【分析】根据“重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，”可得关系式：A的面积×＝B的面积×，依此可求三角形A与三角形B的面积比，进一步求出三角形A的面积．
【解答】解：A的面积×＝B的面积×，
A的面积：B的面积＝：＝3：2；
24×＝36（平方厘米）；
答：三角形A与三角形B的面积比为3：2；三角形A的面积是36平方厘米．
故答案为：3：2；36．
【点评】本题关键是以重叠部分的面积作为中间量，根据分数乘除法的意义列式解答即可．
15．【分析】把两根长度都是25厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是25+25厘米，又焊接头长是5厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长25+25﹣5厘米．
【解答】解：25+25﹣5
＝50﹣5
＝45（厘米）
答：焊接后的铁条长45厘米．
故答案为：45．
【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的．
16．【分析】图1是1个这样的正方形，其面积是4平方厘米、图2是2个这样的正方形叠放成，其面积是7平方厘米、图3是3个这样的正方形叠放成，其面积是10平方厘米、图4是4个这样的正方形叠放成，其面积是13平方厘米……4、7、10、13……是从首项为4公差为3的等差递增数列．4＝3×1+1、7＝3×2+1、10＝3×3+1、13＝3×4+1……第n个图由n个这样的正方形叠放成，其面积是（3n+1）平方厘米．
【解答】解：由分析可知，由n个这样的正方形叠放成的面积是（3n+1）平方厘米．
3×8+1
＝24+1
＝25（平方厘米）
答：用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是25平方厘米．
故答案为：25．
【点评】解答此题的关键是根据图形的充数、用这样正方形的个数、叠放而成的面积之间找出规律，这也是难点．然后再根据规律解答．
17．【分析】首先由平移的性质可得：S△ABC＝S△ECF，AB＝CE＝8，继而可得S四边形EDGF＝S梯形ABCD，然后可求得四边形EDGF的面积．
【解答】解：由平移的性质可得：S△ABC＝S△ECF，AB＝CE＝8，
所以：CD＝CE﹣DE＝8﹣3＝5，
所以：S四边形EDGF＝S梯形ABCD，即：
（5+8）×5÷2
＝13×5÷2
＝32.5
故答案为：32.5
【点评】本题主要考查了平移的性质和梯形的面积公式，本题中找出S四边形EDGF＝S梯形ABCD是解题关键．
18．【分析】把重叠部分的面积看作单位“1”，根据题意，平行四边形A的面积是重叠部分的面积的1÷＝3倍，同理，平行四边形B的面积是重叠部分的面积的5倍，由于A的面积比B的面积少12平方厘米，根据除法的意义可求重叠部分的面积，进一步得到A的面积和B的面积．
【解答】解：12÷（1÷﹣1÷）
＝12÷（5﹣3）
＝12÷2
＝6（平方厘米）
6÷＝18（平方厘米）
6÷＝30（平方厘米）
答：A的面积是18平方厘米，B的面积是30平方厘米．
故答案为：18，30．
【点评】解答此题的关键是把阴影部分的面积看作单位“1”，相应地表示出平行四边形A和B的面积，进而解决问题．
三．判断题（共3小题）
19．【分析】如果两根木条首尾相接，则一共的长度为100×2＝200厘米，因为有重叠部分，长度变成180厘米，则重叠部分为200﹣180＝20厘米，据此即可解答．
【解答】解：100×2﹣180
＝200﹣180
＝20（厘米）
答：中间钉在一起的重叠部分是20厘米．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查重叠问题，关键是明白重叠部分是两块木条原长度和与现长度和的差．
20．【分析】10张纸条粘接在一起共有9处重叠，所以每张纸条长（61+9）÷10＝7（厘米）；由此解答．
【解答】解：（61+9）÷10
＝70÷10
＝7（厘米），
每张纸条长7厘米，原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】明确10张纸条粘接在一起共有9处重叠，是解答此题的关键．
21．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，10个纸条有9个接头，也就是重叠了9厘米，然后加上重叠后的长度31厘米，就可得到10个纸条的长度和，再除以张数10，得到每张纸条的长度．
【解答】解：[31+1×（10﹣1）]÷10，
＝[31+9]÷10，
＝40÷10，
＝4（厘米）；
故答案为：×．
【点评】此题解答的关键是弄清10张纸条有9个接头，不要误算成10个接头．
四．应用题（共7小题）
22．【分析】
如图所示，两根竹竿原来的长度和是3+3＝6米，已知重叠部分是1米，即重叠后减少了1米，所以池中水深6﹣1＝5米．
【解答】解：3+3﹣1＝5（米）
答：池中水深5米．
【点评】本题考查了重叠问题，关键是明确重叠部分的长度与总长度之间的关系．
23．【分析】用5厘米乘3，求出3根木棒的总长度，再减去重叠的2个5毫米即可．
【解答】解：5厘米＝50毫米
50×3﹣2×5
＝150﹣10
＝140（毫米）
答：这3根木棒粘在一起140毫米．
【点评】解答本题关键是明确接在一起重叠了2个5毫米．
24．【分析】因重合的部分面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．
【解答】解：9×6﹣5×5
＝54﹣25
＝29（平方厘米）
答：没有重合的阴影部分面积相差29平方厘米．
【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．
25．【分析】根据题意可知，用两块木板的长度相加﹣重叠部分的长度＝钉成的木板长度，据此列式解答．
【解答】解：100+100﹣20
＝200﹣20
＝180（厘米）
答：钉成的木板长180厘米．
【点评】本题关键是理解重叠部分减少的是一个20厘米，而不是两个20厘米．
26．【分析】因为中间重合部分是4厘米，两块50厘米长的木板拼在一起，原来的总长度是50+50＝100厘米，然后减去重叠部分的4厘米，就是现在这两块木板的总长度，然后转化单位，再比较长短即可．
【解答】解：50+50﹣4
＝100﹣4
＝96（厘米）
1米＝100厘米
100＞96
答：现在两块木板的总长度是96厘米，它们的总长比1米短．
【点评】解答此类问题，关键是理解重叠部分的长度、总长度、现在的长度之间的关系．
27．【分析】（1）先用16分米乘3求出3根绳子的全长；每两根之间接头处长2分米，那么3根绳子之间有2个接头，就是接头的总长度是2个2分米，再用乘法求出接头的总长度，然后用3根绳子的总长度减去接头的总长度，即可求出结成后的长绳长多少分米；
（2）用三根绳子的总长度减去结成后的长度，得出减少的长度，也就是2个接头的总长度，再除以2，即可求出每个接头处长多少分米．
【解答】解：（1）16×3＝48（分米）
48﹣2×2
＝48﹣4
＝44（分米）
答：结成后的长绳长44分米．
（2）（48﹣42）÷2
＝6÷2
＝3（分米）
答：每个接头处长3分米．
【点评】解决本题关键是根据植树问题的思考方法，得出3根绳子有2个接头，再根据乘除法的意义进行求解．
28．【分析】因重合的部分是公共部分，面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．然后根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入数据解答即可．
【解答】解：2×3﹣2×2
＝6﹣4
＝2（平方厘米）
答：两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米．
【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形的面积的差．