人教版四年级上册8 数学广角——优化练习

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第8章 数学广角-优化 第3课时 比赛中的对策





1、把解决问题的所有可能性都一一找出来，然后从中找到最好的策略，这是数学中一种很重要的方法。


2、解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。


3、在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。








例1. 甲、乙两队各派出三名队员参加100米游泳比赛，三局两胜，两队的参赛队员平时训练成绩如下．（比赛中每个人都发挥正常）


甲队：①40秒②55秒③65秒


乙队：④50秒⑤45秒⑥60秒


如果乙队按④→⑤→⑥的顺序派队员，那么甲队按（ ）的顺序派队员能取胜．


A．①→②→③B．②→①→③C．①→③→②D．②→③→①


【分析】甲队要想取胜，就必须做到胜两次，可以利用”田忌赛马”的方法来安排比赛，即按照”上对中，中对下，下对上“进行比赛．


【解答】解：由题意知，


甲队的三名队员按实力排序：


①40秒②55秒③65秒，


乙队的三名队员按实力排序：


⑤45秒④50秒⑥60秒


如果乙队按④→⑤→⑥的顺序派队员，


那么甲队要想取胜2场，就按照①→③→②的顺序派队员．


故选：C．


【点评】做题的关键是学生要熟悉“田忌赛马“的规则．


例2. 一班和二班举行100米短跑比赛．每班三名同学参赛，下面是一班和二班选手情况，统计表，如果你是一班老师，怎样安排保证一班获胜呢？


一班选手情况统计表


二班选手情况统计表


程刚﹣刘龙 赵天﹣宋圆 陶然﹣李佳


[错因分析]本题错在 错误的认为跑步时间越长，跑得越快 ．[正确解答] 程刚﹣李佳 陶然﹣宋圆 赵天﹣刘龙 ．


【分析】跑步的时间越长，跑得越慢，应该让一班跑得最慢的，也就是用时最多的与二班用时最少的比，只要保证后两场胜利即可：程刚﹣李佳 陶然﹣宋圆 赵天﹣刘龙，


【解答】解：根据题干分析可得：


[错因分析]本题错在：错误的认为跑步时间越长，跑得越快，程刚﹣刘龙 赵天﹣宋圆 陶然﹣李佳这样安排不能保证一班获胜．


[正确解答]：程刚﹣李佳 陶然﹣宋圆 赵天﹣刘龙，这样安排保证一班获胜．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


例3. “田忌赛马”故事中，田忌应对齐王的策略一共有6种，但田忌获胜的策略只有1种． √ ．（判断对错）


【分析】田忌赛马是我们都熟悉的故事，齐王和田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的强．而田忌的上等马能胜齐王的中等马，田忌的中等马能胜齐王的下等马．如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机出阵比赛，采用枚举法列表找出田忌应对齐王的所有策略，即可得解．


【解答】解：如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机出阵比赛时，双方马的对阵情况列表如下：


由上表可知，田忌应对齐王的策略一共有6种，但田忌获胜的策略只有1种．


故答案为：√．


【点评】此题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案是解题关键．


例4. 1分钟跳绳比赛．（五局三胜）


四（1）班：


四（2）班：


如果比赛中每个人都发挥正常，那么四（2）班怎样排兵布阵才能获胜？把表格填写完整．


【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（2）班获胜，则可以让四（2）班最差的王鹏对阵四（1）班的第一名张帆；四（2）班的第四名李青对阵四（1）班的第二名李佳，这样四（2）班就会输2场；然后用四（2）班的第一名赵文对阵四（1）班的第三名王浩，四（2）班的第二名宋峰对阵四（1）第四名宋晓，四（2）班的第三名马天对阵四（1）班的第五名高帅，这样会取得3场胜利，从而根据五局三胜的规则即可得出四（2）班胜出．


【解答】解：对阵如下表：


（答案不唯一）


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．








一．选择题（共4小题）


1．甲、乙两队各派出三名队员参加100米游泳比赛，三局两胜，两队的参赛队员平时训练成绩如下．（比赛中每个人都发挥正常）


甲队：①40秒②55秒③65秒


乙队：④50秒⑤45秒⑥60秒


如果乙队按④→⑤→⑥的顺序派队员，那么甲队按（ ）的顺序派队员能取胜．


A．①→②→③B．②→①→③C．①→③→②D．②→③→①


2．小明和小亮玩数字卡片比大小的游戏，每人每次出一张卡片，各出3次，赢两次者胜．第一回合，小明出了 9，小亮要想赢得整个比赛，必须出（ ）





A．8B．5C．2


3．“比大小”游戏，游戏规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜，②每人每次只能出一张卡片，③第1次谁先出卡片，后两次还是谁先．左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片，小明先出10，小军出（ ）才有可能获胜．





A．5B．7C．9D．无法确定


4．两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出三次赢两次者胜．小红的牌是“9”、“7”、“5”；小芳的牌是“8”、“6”、“3”．当小红出“9”时，小芳出（ ）才可能赢．


A．8B．6


C．3D．任意一张都行


二．填空题（共6小题）


5．田忌赛马的故事中，田忌是如何赢齐王的，请在下表中设计一下当时的比赛情况：


6．四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛．每班选出打乒乓球最好的五名同学（下表中按五名同学的水平高低编号，1号水平最高，5号水平最低），共打5场球，5局3胜制．假如你是四（1）班同学，你将如何设计，才有可能打赢这次比赛？（把想法填表中）


7．小明与小强进行扑克牌点数大小比赛，小强的牌为8、6、4，小明如果按9、7、5的顺序出牌，小强分别按 、 、 出牌可以获胜．


8．可以将齐王的三种马的能力值设定为9、7、5，而田忌的三种马的能力值都分别少一些，为8、6、4．怎样才能使田忌赢呢？请填表．





9．聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制．如果明明按7、5、3的顺序出牌，那么聪聪一共有 种应对策略，其中有 种策略可以获胜．





10．苹苹和淘淘玩卡片游戏，每人出3次卡片，不准重复，数字大的获胜，采取三局两胜制．苹苹先出6，淘淘要获胜，应出 ．





三．判断题（共1小题）


11．“田忌赛马”这个故事中只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，齐王就一定能获胜． （判断对错）


四．解答题（共10小题）


12．胜利小学和红旗小学举行象棋友谊赛．每个学校各派三名选手参赛．比赛三局两胜．选手棋艺排名如下：胜利小学王凯、张华、李磊；红旗小学：王飞、刘明、孙阳．（两校排名在先的都能赢排名在后的），胜利小学要想获胜，该怎样安排？


13．两所学校进行象棋比赛（名次高的都能赢名次低的）．


如果你是中心小学的领队，怎样安排才能获胜？


14．小林和小强用扑克牌玩“比大小“的游戏，小林的三张牌分别为“3”“5”“7”，小强的三张牌分别为“4”“6”“9”，玩法：每人每次出一张牌，牌大为胜，一共比三次，两次胜者为赢．


（1）小林怎么出牌才能取胜？请把出牌的情况填入下表．


（2） 先出牌才能确保小林取胜．


15．小朋友，你们学过了田忌赛马的策略，田忌是怎样赢得齐王的，请你填一填．


16．小明有10、7、4三张数字卡片，小东有3、5、9三张数字卡片，规定每人每次出一张卡片，数字大的贏，各出三次，赢两次者胜．如果小明先出（顺序如图），那么小东应该怎样应对才能获胜？把小东的数字卡片换小一些，还可以获胜吗？如果可以，那么小东获胜的三张数字卡片最小依次是哪三张？





17．五（1）班和五（2）班举行象棋比赛，采取五局三胜制．每班选出5名选手参赛，选手按实力从强到弱分5个等级：1级、2级、3级、4级和5级．两个班级相同等级的选手的实力相近．为增大五（1）班获胜机会，可以采取什么样的对阵策略？


18．小冬和小春各有“团长”“营长”“连长”三枚军棋，级别高的“吃掉”级别低的．每人每次出枚棋，各出三次，嬴两次者胜．如果小冬先出，那么小春怎样出棋才能赢？（军棋级别从高到低：军师旅团营连排）





19．某小学进行班级乒乓球比赛，比赛规则是三局两胜．下面是四（1）班的出场次序，如果四（2）班想获胜，应该怎样安排自己队员的出场次序？


20．扑克游戏：四局三胜每局中牌大的为胜．


如果小军先出牌，小红要想胜，她该怎样出牌？





21．小新和小明用扑克牌玩比大小游戏．如果小新按下面的顺序出牌，那么小明怎样出牌就能赢？在下面的表格里填上小明出牌的顺序并说明理由．





参考答案与试题解析


一．选择题（共4小题）


1．【分析】甲队要想取胜，就必须做到胜两次，可以利用”田忌赛马”的方法来安排比赛，即按照”上对中，中对下，下对上“进行比赛．


【解答】解：由题意知，


甲队的三名队员按实力排序：


①40秒②55秒③65秒，


乙队的三名队员按实力排序：


⑤45秒④50秒⑥60秒


如果乙队按④→⑤→⑥的顺序派队员，


那么甲队要想取胜2场，就按照①→③→②的顺序派队员．


故选：C．


【点评】做题的关键是学生要熟悉“田忌赛马“的规则．


2．【分析】根据“田忌赛马”的故事，用2对9，输一局；5对4，8对6，胜二局，由此即可能3局2胜获胜．


【解答】解：小亮要想赢得整个比赛，必须出2．


故选：C．


【点评】本题主要是根据“田忌赛马”的故事，用最差的和对方最好的比，输一局，用中等的和对方最差的比，用最好的和对方最差的比，这样就可以胜二局，从而获胜．


3．【分析】小明第一次出的是10，小军出哪个都比10小，都是输，既然都是输，要拿出最小的5与之对阵，这样剩下的两张都比小明的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2：1胜．


【解答】解：如图











最终小军以2：1获胜．


故选：A．


【点评】类似“田忌赛马”，第一次小明拿出的数最大，小军拿无论拿哪个都是输，只拿出最小，剩下两个大数再与小明比．


4．【分析】根据“田忌赛马”的故事，用3对9，输一次；用8对7、6对5，赢二次，由此即可赢两次胜；据此解答．


【解答】解：第一次，当小红出“9”时，小芳出“3”，小芳输；


第二次，当小红出“7”时，小芳出“8”，小芳赢；


第三次，当小红出“5”时，小芳出“6”，小芳赢；


这样小芳才能赢．


故选：C．


【点评】本题主要是根据“田忌赛马”的故事，用最差的和对方最好的比，输一局，用中等的和对方最差的比，用最好的和对方最差的比，这样就可以胜二局，从而获胜．


二．填空题（共6小题）


5．【分析】采用枚举法，找出所有的可能即可．第一场 田忌用下等马对齐王 上等马，齐王胜；第一场 田忌用上等马对齐王 中等马，田忌胜；第三场 田忌用中等马对齐王 下等马，田忌胜．


【解答】解：


故答案为：下等马、齐王，上等马、田忌，中等马、田忌．


【点评】此题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案是解题关键．


6．【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（1）班胜出，则可以让四（1）第一名对四（2）的第三名；四（1）的第二名对四（2）的第四名；四（1）的第三名对四（2）的第五名，四（1）班的第四名对阵四（2）班的第二名，四（1）班的第五名对阵四（2）班的第一名．这样能保证后三场比赛四（1）胜出．根据5场3胜的规则即可得出四（1）胜出．


【解答】解：


根据5场3胜的规则，可知四（1）班胜出．


故答案为：5 4 1 2 3 输 输 赢 赢 赢．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


7．【分析】根据田忌赛马的方法，用小强的最小的牌对小明最大的牌，用小强最大的牌对小明次大的牌，用小强次大的牌对小明最小的牌，这样小强就会2胜1负，从而取胜．


【解答】解：小明与小强进行扑克牌点数大小比赛，小强的牌为8、6、4，小明如果按9、7、5的顺序出牌，


小强分别按 4、8、6出牌可以获胜．


对阵顺序就是：


小明 小强 胜者


9 4 小明


7 8 小强


5 7 小强


小强以2：1胜出．


故答案为：4、8、6．


【点评】本题主要考查了学生利用“田忌赛马”的方法来解决问题的能力．


8．【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使田忌胜出，则可以让田忌成绩最好的与齐王的第二名一组；让田忌的第二名与齐王的第三名一组，让田忌的第三名与齐王的第一名一组，这样能保证田忌胜出2局．根据三局两胜的规则即可得出田忌胜；据此即可解答问题．


【解答】解：表格如下：





【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


9．【分析】（1）如果明明按7、5、3的顺序出牌，那么聪聪的6、4、2，根据乘法原理共有3×2×1＝6种应对策略；


（2）根据田忌赛马的方法，用聪聪的最小的牌对明明最大的牌，用聪聪最大的牌对明明次大的牌，用聪聪次大的牌对明明最小的牌，这样聪聪就会2胜1负，从而取胜．


【解答】解：（1）3×2×1＝6（种）


（2）明明与聪聪进行扑克牌点数大小比赛，聪聪的牌为6、4、2，明小明如果按7、5、3的顺序出牌，


聪聪分别按 2、6、4出牌可以获胜．


对阵顺序就是：


明明 聪聪 胜者


7 2 明明


5 6 聪聪


3 4 聪聪


聪聪以2：1胜出；


答：聪聪一共有 6种应对策略，其中有 1种策略可以获胜．


故答案为：6；1．


【点评】本题主要考查了学生利用“田忌赛马”的方法来解决问题的能力．


10．【分析】因为8＞7，所以不论如何出卡片，苹苹至少要胜出1次，苹苹先出的6是苹苹第二大的数，要使剩下的数中淘淘要获胜1次，这次必须要大于6，即淘淘要获胜，应出7；据此解答即可．


【解答】解：3＜4＜5＜6＜7＜8


因为8＞7，所以不论如何出卡片，苹苹至少要胜出1次；


苹苹先出的6是苹苹第二大的数，要使剩下的数中淘淘要获胜1次，这次必须要大于6；


即淘淘要获胜，应出7；


答：淘淘要获胜，应出7．


故答案为：7．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


三．判断题（共1小题）


11．【分析】“田忌赛马”：用自己的劣等马对决对手的优等马，用自己的优等马对决对手的中等马，用自己的中等马对决对手的劣等马，根据这个故事告解答即可．


【解答】解：“田忌赛马”这个故事中，只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，剩下的齐王的马，至少会赢2局，齐王就一定能获胜；所以原题说法正确．


故答案为：√．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


四．解答题（共10小题）


12．【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，用胜利小学的第一名对阵红旗小学的第二名，用胜利小学的第二名对阵红旗小学的第三名，用胜利小学的第三名对阵红旗小学的第一名，这样胜利小学会获得2胜1负，从而获胜．


【解答】解：用胜利小学的王凯对阵红旗小学的刘明，


用胜利小学的张华对阵红旗小学的孙阳，


用胜利小学的李磊对阵红旗小学的王飞，


这样胜利小学会获得2胜1负，从而获胜．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


13．【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使中心小学胜出，则可以让中心小学第一名对第一小学的第二名；中心小学的第二名对第一小学的第三名；中心小学的第三名对第一小学的第一名，这样能保证前两次中心小学胜出．根据三局两胜的规则即可得出中心小学胜．


【解答】解：根据题干分析可


答：由上述安排，根据三局两胜的规则，即可得出中心小学胜出．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


14．【分析】小林的三张牌分别为“3”“5”“7”，小强的三张牌分别为“4”“6”“9”，根据“田忌赛马”的故事，小林出牌取胜的策略是：用3对9，输一局；5对4，7对6，胜二局，由此即可能3局2胜获胜；据此解答即可．


【解答】解：（1）小林出牌取胜的策略是：


（2）因为后手出牌才能获胜，所以小强先出牌才能确保小林取胜．


故答案为：小强．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


15．【分析】采用枚举法，找出所有的可能即可．第一场 田忌用下等马对齐王 上等马，齐王胜；第二场 田忌用上等马对齐王 中等马，田忌胜；第三场 田忌用中等马对齐王 下等马，田忌胜．


【解答】解：


【点评】此题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案是解题关键．


16．【分析】小东用最小的数字卡片应对小明最大的数字卡片，用最大的数字卡片应对小明排名第二的数字卡片，用排名第二的数字卡片应对小明排名第三的数字卡片，小东想要获胜；最大的数字卡片要比小明排名第二的数字卡片大，排名第二的数字卡片要比小明排名第三的数字卡片大，最小的数字卡片为0．


【解答】解：根据分析可知：


小东应该如图所示应对小明才能获胜．





把小东的数字卡片换小一些，还可以获胜，


小东最大的数字卡片要比小明排名第二的数字卡片大，排名第二的数字卡片要比小明排名第三的数字卡片大，最小的数字卡片为0．


所以小东获胜的三张数字卡片最小依次是如下三张：0，8，5．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


17．【分析】五（1）班用等级最低的选手应对五（2）班等级最高的选手，先输掉一局，在剩下的4局中分别用等级高于对手一级的选手去比赛，可赢得剩下的4局，最后以四比一获胜．


【解答】解：根据分析可知：


可以采取的对阵策略如下表：





【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


18．【分析】小春只有采取“田忌赛马”的策略才有可能赢对方，无论哪一局，小春都用连长去迎战小冬的团长，虽然有一棋处于劣势，但其他两棋小春用营长去迎战小冬的连长，用团长去迎战小冬的营长，都会获得胜利，最终二比一获胜．


【解答】解：如图，





故答案为：营长，连长，排长；连长，团长，营长；团长，连长，营长．


【点评】此题考查了田忌赛马问题，知己知彼百战不殆，用最弱的对最强的，输掉一局，用强对中等，用中等对弱者，胜两局，保证三局两胜；关键是小春后出棋，占了主动权．


19．【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（2）班胜出，则可以让四（2）高水平对四（1）的中水平；四（2）的中水平对四（1）的低水平；四（2）的低水平对四（1）的高水平，这样能保证有两场比赛四（2）胜出．


【解答】解：根据题干分析，可以安排如下：


根据三局两胜的规则即可得出四（2）胜出．


【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键．


20．【分析】根据“田忌赛马”的故事，小红用9对1，输一局；4对2，6对4，8对7，胜三局，由此即可能4局3胜获胜．


【解答】解：当小军拿9时，小红拿1，输一局；


当小军拿2时，小红拿4，胜一局；


当小军拿4时，小红拿6，胜一局；


当小军拿7时，小红拿8，胜一局；


这时小红胜三局，输一局，所以最终小红胜．


【点评】此题考查最佳对策问题，注意数的特点，灵活选用适当的方法和策略解决问题．


21．【分析】根据“田忌赛马”的故事，用4对9，输一局；6对5，8对7，胜二局，由此即可能3局2胜获胜．


【解答】解：


【点评】本题主要是根据“田忌赛马”的故事，用最差的和对方最好的比，输一局，用中等的和对方最差的比，用最好的和对方最差的比，这样就可以胜二局，从而获胜．姓名
时间（100米赛跑）
赵天
19秒
陶然
15秒
程刚
21秒
姓名
时间（100米赛跑）
李佳
14秒
宋圆
17秒
刘龙
20秒
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
获胜方
齐王
齐王
齐王
齐王
田忌
齐王
姓名
张帆
李佳
王浩
宋晓
高帅
次数
156
148
142
135
130
姓名
赵文
宋峰
马天
李青
王鹏
次数
147
145
139
134
128
四（1）班
张帆
李佳
王浩
宋晓
高帅
四（2）班
本局获胜班级
四（1）班
张帆
李佳
王浩
宋晓
高帅
四（2）班
王鹏
李青
赵文
宋峰
马天
本局获胜班级
四（1）班
四（1）班
四（2）班
四（2）班
四（2）班
齐王
田忌
胜方
1
上等马


2
中等马


3
下等马


第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
四（2）班战略
1
2
3
4
5
四（1）班战略





结果





第一次
第二次
第三次
齐王
9
7
5
田忌



第一次
第二次
第三次
齐王
5
7
9
田忌



学校
姓名
名次
学校
姓名
名次
中心小学
陈明
第一名
第一小学
王君
第一名
刘海
第二名
李华
第二名
欧阳华
第三名
陈新
第三名
场次
中心小学
第一小学
获胜方
第一场
第二场
第三场
小林
小强
9
4
6
齐王
田忌
本场胜负
第一场
上等马
第二场
中等马
第三场
下等马
场次
四（1）班
四（2）班
本场获胜者
第一场
高水平
第二场
低水平
第三场
中等水平
出牌顺序
小新
小明
第一次
9
第二次
5
第三次
7
齐王
田忌
胜方
第一场
上等马
下等马
齐王
第二场
中等马
上等马
田忌
第三场
下等马
中等马
田忌
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
四（2）班战略
1
2
3
4
5
四（1）班战略
5
4
1
2
3
结果
输
输
赢
赢
赢
第一次
第二次
第三次
齐王
9
7
5
田忌
4
8
6
第一次
第二次
第三次
齐王
5
7
9
田忌
6
8
4
场次
中心小学
第一小学
获胜方
第一场
陈明
李华
中心小学
第二场
刘海
陈新
中心小学
第三场
欧阳华
王君
第一小学
小林
3
5
7
小强
9
4
6
齐王
田忌
本场胜负
第一场
上等马
下等马
齐王胜
第二场
中等马
上等马
田忌胜
第三场
下等马
中等马
田忌胜
场次
四（1）
四（2）
本场胜者
第一场
高水平
低水平
四（1）
第二场
低水平
中水平
四（2）
第三场
中水平
高水平
四（2）
出牌顺序
小新
小明
第一次
9
3
第二次
5
6
第三次
7
8