2020-2021学年山东省济宁市微山县八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省济宁市微山县八年级（上）期末数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了下列图形具有稳定性的是，下列各式正确的是，下列分式中，是最简分式的是等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省济宁市微山县八年级（上）期末数学试卷





一．精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，把所选项前的字母代号填在卷Ⅱ的答题栏内.相信你一定能选对！）


1．下列图形具有稳定性的是（ ）


A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形





2．已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠E=60°．那么∠C等于（ ）


A．30°B．50°C．60°D．70°





3．把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值是（ ）


A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．缩小原来的





4．下列各式正确的是（ ）


A．b•b5=b5B．（a2b）2=a2b2C．a6÷a3=a2D．a+2a=3a





5．如图，点A和点D都在线段BC的垂直平分线上．连接AB，AC，DB，DC．如果∠1=20°，∠2=50°．那么∠BAC比∠BDC（ ）





A．大40°B．小40°C．大30°D．小30°





6．下列分式中，是最简分式的是（ ）


A．B．C．D．





7．一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（ ）


A．9B．8C．7D．6[来源:学§科§网Z§X§X§K]





8．如果9a2﹣ka+4是完全平方式，那么k的值是（ ）


A．﹣12B．6C．±12D．±6





9．已知分式，下列分式中与其相等的是（ ）


A．B．C．D．





10．在一次数学课上，李老师出示一道题目：


明明作法：分别作∠ACD和∠BCD的平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．


晓晓作法：分别作AC和BC的垂直平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．


你认为明明和晓晓作法正确的是（ ）


A．明明B．晓晓C．两人都正确D．两人都错误








二、细心填一填（本大题共有5小题，每题3分，共15分.请把结果直接填在题中的横线上.只要你仔细运算，积极思考，相信你一定能填对！）


11．一个三角形的三边长分别是3，6，x．那么整数x可能是 ．（填一种情况即可）





12．齐鲁网2015年12月7日讯，中国科学院和中国工程院院士增选名单正式出炉，中国海洋大学山东微山县籍宋微波教授，当选中国科学院生命科学和医学学部院士，他主要从事海洋纤毛虫领域的研究．纤毛虫作为原生动物中特化程度最高且最为复杂的一个门，是单细胞真核生物，具有高度的形态和功能多样性，其最小个体大约有0.00002米．那么其中数据0.00002用科学记数法表示为 ．





13．一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 ．





14．若x2+bx+c=（x+5）（x﹣3），则点P（b，c）关于y轴对称点的坐标是 ．





15．如果的解为正数，那么m的取值范围是 ．








三、认真答一答（本大题共7题，满分55分.只要你认真审题，细心运算，一定能解答正确!解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.）


16．计算：[来源:学&科&网]


（1）；


（2）；


（3）（π﹣3.14）0﹣2﹣2．





17．（1）化简：3（x﹣y）2﹣（2x+y）（x﹣2y）；


（2）先化简分式：，然后在0，1，2，3中选择一个你喜欢的a值，代入求值．





18．如图，在△ABC中，AD，CE是高线，AF是角平分线，∠BAC=∠AFD=80°．


（1）求∠BCE的度数；


（2）如果AD=6，BE=5．求△ABC的面积．








19．作图与证明：


（1）读下列语句，作出符合题意的图形（要求：使用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．


①作线段AB；


②分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧在线段AB的同侧交于点C；


③连接AC，以点C为圆心，以AB长为半径作弧，交AC延长线于点D；


④连接BD，得△ABD．


（2）求证：△ABD是直角三角形．








20．本学期马上就要结束了，班主任刘老师打算花50元买笔记本，花150元买钢笔，用来奖励本学期综合表现较好的前若干名同学．已知钢笔每只比笔记本每本贵16元，刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔吗？


班委会上，班长和团支部书记都帮助刘老师进行了计算，他们假设刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔，分别设未知数并列出了方程：


班长：；


团支部书记：．


（1）填空：班长所列方程中x的实际意义是 ；团支部书记所列方程中y的实际意义是 ．


（2）你认为刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔吗？请说明理由．





21．先阅读下面的内容，然后再解答问题．


例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．


解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，


∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．


∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．


∴．


解这个方程组，得：．


解答下面的问题：


（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；


（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．





22．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．


（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：AE=CG；


（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．














2020-2021学年山东省济宁市微山县八年级（上）期末数学试卷


参考答案与试题解析





一．精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，把所选项前的字母代号填在卷Ⅱ的答题栏内.相信你一定能选对！）


1．下列图形具有稳定性的是（ ）


A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形


【考点】三角形的稳定性；多边形．


【分析】根据三角形具有稳定性解答．


【解答】解：具有稳定性的图形是三角形．


故选A．


【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．





2．已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠E=60°．那么∠C等于（ ）


A．30°B．50°C．60°D．70°


【考点】全等三角形的性质．


【分析】根据全等三角形的性质求出∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．


【解答】解：∵△ABC≌△DEF，


∴∠B=∠E=60°，


∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°，


故选：D．


【点评】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．





3．把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值是（ ）


A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．缩小原来的


【考点】分式的基本性质．


【分析】根据分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或整式，结果不变，可得答案．


【解答】解：分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值不变．


故选：C．


【点评】本题考查了分式的基本性质，分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或整式，结果不变．





4．下列各式正确的是（ ）


A．b•b5=b5B．（a2b）2=a2b2C．a6÷a3=a2D．a+2a=3a


【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．


【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．


【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；


B、积的乘方等于乘方的积，故B错误；


C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；


D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；


故选：D．


【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．





5．如图，点A和点D都在线段BC的垂直平分线上．连接AB，AC，DB，DC．如果∠1=20°，∠2=50°．那么∠BAC比∠BDC（ ）





A．大40°B．小40°C．大30°D．小30°


【考点】线段垂直平分线的性质．


【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，DB=DC，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠2=50°，根据三角形的内角和得到∠BAC=40°，∠BDC=80°，即可得到结论．


【解答】解：∵点A和点D都在线段BC的垂直平分线上，


∴AB=AC，DB=DC，


∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠2=50°，


∴∠ABC=∠ACB=∠1+∠DBC=70°，


∴∠BAC=40°，∠BDC=80°，


∴∠BAC比∠BDC小40°，


故选B．


【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．





6．下列分式中，是最简分式的是（ ）


A．B．C．D．


【考点】最简分式．


【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．


【解答】解：A、=；


B、=；


C、=；


D、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；


故选D．


【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．





7．一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（ ）


A．9B．8C．7D．6


【考点】多边形的对角线．


【分析】多边形的外角和是360度，根据内角和与外角和的比是3：1，则内角和是1080度，根据n边形的内角和定理即可求得．


【解答】解：内角和是3×360=1080°．


设多边形的边数是n，根据题意得到：（n﹣2）•180=1080．


解得n=8．


故选：B．


【点评】本题考查多边形的内角和计算公式和多边形的外角和定理．根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．





8．如果9a2﹣ka+4是完全平方式，那么k的值是（ ）


A．﹣12B．6C．±12D．±6


【考点】完全平方式．


【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值．


【解答】解：∵9a2﹣ka+4=（3a）2±12a+42=（3a±2）2，


∴k=±12．


故选C．


【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．





9．已知分式，下列分式中与其相等的是（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]


A．B．C．D．


【考点】分式的基本性质．


【分析】根据分子、分母、分式的符号任意改变两项的符号，分式的值不变，可得答案．


【解答】解： =﹣=，


故A正确．


故选：A．


【点评】本题考查了分式的基本性质，分子、分母、分式的符号任意改变两项的符号，分式的值不变．





10．在一次数学课上，李老师出示一道题目：


明明作法：分别作∠ACD和∠BCD的平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．


晓晓作法：分别作AC和BC的垂直平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．


你认为明明和晓晓作法正确的是（ ）


A．明明B．晓晓C．两人都正确D．两人都错误


【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．


【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠A=30°，CD⊥AB，由三角形的内角和得到∠ACD=∠BCD=60°，


明明作法：如图1，根据角平分线的定义得到∠ACP=∠BCQ=30°，求得∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，由等腰三角形的判定得到AP=PC，BQ=CQ，根据全等三角形的性质得到AP=BQ，于是得到AP=CP=CQ=BQ；故明明作法正确；


晓晓作法：如图2，根据线段垂直平分线的性质得到AP=PC，BQ=CQ，推出△APC≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到AP=BQ，求得AP=CP=CQ=BQ，于是得到晓晓作法正确．


【解答】解：∵AC=BC，AD=BD，


∴∠B=∠A=30°，CD⊥AB，


∴∠ACD=∠BCD=60°，


明明作法：如图1，


∵CP平分∠ACD，CQ平分∠BCD，


∴∠ACP=∠BCQ=30°，


∴∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，[来源:学.科.网]


∴AP=PC，BQ=CQ，


在△ACP与△BCQ中，，


∴△APC≌△BCQ，


∴AP=BQ，


∴AP=CP=CQ=BQ；


∴明明作法正确；


晓晓作法：如图2，


∵分别作AC和BC的垂直平分线，交AB于点P，Q，


∴AP=PC，BQ=CQ，在△ACP与△BCQ中，，


∴△APC≌△BCQ，


∴AP=BQ，


∴AP=CP=CQ=BQ，


∴晓晓作法正确，


故选C．








【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．





二、细心填一填（本大题共有5小题，每题3分，共15分.请把结果直接填在题中的横线上.只要你仔细运算，积极思考，相信你一定能填对！）


11．一个三角形的三边长分别是3，6，x．那么整数x可能是 5 ．（填一种情况即可）


【考点】三角形三边关系．


【分析】首先根据三角形的三边关系确定x的取值范围，再确定x的值．


【解答】解：根据三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，


即3＜x＜9，


∵x为整数，


∴x=5．


故答案为：5．


【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．





12．齐鲁网2015年12月7日讯，中国科学院和中国工程院院士增选名单正式出炉，中国海洋大学山东微山县籍宋微波教授，当选中国科学院生命科学和医学学部院士，他主要从事海洋纤毛虫领域的研究．纤毛虫作为原生动物中特化程度最高且最为复杂的一个门，是单细胞真核生物，具有高度的形态和功能多样性，其最小个体大约有0.00002米．那么其中数据0.00002用科学记数法表示为 2×10﹣5 ．


【考点】科学记数法—表示较小的数．


【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．


【解答】解：0.00002=2×10﹣5，


故答案为：2×10﹣5．


【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．





13．一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 80°或20° ．


【考点】等腰三角形的性质．


【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．


【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；


（2）当80°为底角时，顶角=180°﹣2×80°=20°．


故答案为：80°或20°．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．





14．若x2+bx+c=（x+5）（x﹣3），则点P（b，c）关于y轴对称点的坐标是 （﹣2，﹣15） ．


【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；因式分解-十字相乘法等．


【分析】先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出b、c的值，然后根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．


【解答】解：∵（x+5）（x﹣3）=x2+2x﹣15，


∴b=2，c=﹣15，


∴点P的坐标为（2，﹣15），


∴点P（2，﹣15）关于y轴对称点的坐标是（﹣2，﹣15）．


故答案为：（﹣2，﹣15）．


【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：


（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；


（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；


（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．





15．如果的解为正数，那么m的取值范围是 m＜1且m≠﹣3 ．


【考点】分式方程的解．


【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．


【解答】解：去分母得，1+x﹣2=﹣m﹣x，


∴x=，


∵方程的解是正数


∴1﹣m＞0即m＜1，


又因为x﹣2≠0，


∴≠2，


∴m≠﹣3，


则m的取值范围是m＜1且m≠﹣3，


故答案为m＜1且m≠﹣3．


【点评】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉m≠﹣2，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．





三、认真答一答（本大题共7题，满分55分.只要你认真审题，细心运算，一定能解答正确!解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.）


16．计算：


（1）；


（2）；


（3）（π﹣3.14）0﹣2﹣2．


【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．


【分析】（1）分母不变，直接把分子相加减即可；


（2）先算乘方，再算乘法即可；


（3）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据有理数的减法进行计算．


【解答】解：（1）原式=


=1；





（2）原式=


=；





（3）原式=1﹣


=．


【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．





17．（1）化简：3（x﹣y）2﹣（2x+y）（x﹣2y）；


（2）先化简分式：，然后在0，1，2，3中选择一个你喜欢的a值，代入求值．


【考点】分式的化简求值；整式的混合运算．


【专题】计算题；分式．


【分析】（1）原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；


（2）原式第一项利用除法法则变形，约分后合并得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值．


【解答】解：（1）原式=3（x2﹣2xy+y2）﹣（2x2﹣4xy+xy﹣2y2）=3x2﹣6xy+3y2﹣2x2+4xy﹣xy+2y2=x2﹣3xy+5y2；


（2）原式=•+=a﹣（﹣a）=2a，


当a=2时，原式=2×2=4．


【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．





18．如图，在△ABC中，AD，CE是高线，AF是角平分线，∠BAC=∠AFD=80°．


（1）求∠BCE的度数；


（2）如果AD=6，BE=5．求△ABC的面积．





【考点】三角形内角和定理；三角形的面积；含30度角的直角三角形．


【分析】（1）先由直角三角形的性质求出∠ADF的度数，再由角平分线的性质求出∠BAF的度数，故可得出∠BAD的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论；


（2）由（1）知，∠BCE=30°，故可得出BC=2BE，再由三角形的面积公式即可得出结论．


【解答】解：（1）∵AD，CE是高线，


∴∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°．


∴∠DAF=90°﹣∠AFD=90°﹣80°=10°．


∵AF平分∠BAC，


∴∠BAF=∠BAC=×80°=40°．


∴∠BAD=∠BAF﹣∠DAF=40°﹣10°=30°．


∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，


∴∠BCE=∠BAD=30°．





（2）在Rt△BCE中，


∵∠BCE=30°，


∴BC=2BE=2×5=10．


∴S△ABC=BC•AD=×10×6=30．


【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．





19．作图与证明：


（1）读下列语句，作出符合题意的图形（要求：使用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．


①作线段AB；


②分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧在线段AB的同侧交于点C；


③连接AC，以点C为圆心，以AB长为半径作弧，交AC延长线于点D；


④连接BD，得△ABD．


（2）求证：△ABD是直角三角形．





【考点】作图—复杂作图．


【专题】作图题．


【分析】（1）根据题中要求，先确定C点，使CA=CB，再在AC的延长线上截取CD=AC，然后连结BD得到△ABD；


（2）利用作法得到AB=AC=BC=CD，根据圆的定义得到点B在以AD为直径的圆上，然后根据圆周角定理可判断△ABD是直角三角形．


【解答】（1）解：如图，△ABD为所作；


（2）证明：连接BC，如图，由作图可得AB=AC=BC=CD，


∴点B在以AD为直径的圆上，


∴∠ABD=90°，


∴△ABD是直角三角形．





【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．





20．本学期马上就要结束了，班主任刘老师打算花50元买笔记本，花150元买钢笔，用来奖励本学期综合表现较好的前若干名同学．已知钢笔每只比笔记本每本贵16元，刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔吗？


班委会上，班长和团支部书记都帮助刘老师进行了计算，他们假设刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔，分别设未知数并列出了方程：


班长：；


团支部书记：．


（1）填空：班长所列方程中x的实际意义是 钢笔的单价 ；团支部书记所列方程中y的实际意义是 所买笔记本的本数 ．


（2）你认为刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔吗？请说明理由．


【考点】分式方程的应用．


【分析】（1）根据钢笔每只比笔记本每本贵16元结合所列方程可得x的实际意义是钢笔单价，y的实际意义是所买笔记本的本数；


（2）首先假设刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔，设笔记本每本z元，则钢笔每只（z+16）元．根据题意，得，解出z的值，然后再计算出，根据实际问题可得笔记本的本数必须为整数，故刘老师不能买到相同数量的笔记本和钢笔．


【解答】解：（1）班长所列方程中x的实际意义是：钢笔的单价；


团支部书记所列方程中y的实际意义是：所买笔记本的本数；





（2）假设刘老师能买到相同数量的笔记本和钢笔．


设笔记本每本z元，则钢笔每只（z+16）元．根据题意，得


．


解这个方程，得z=8，


经检验z=8是所列方程的解．


∴，而笔记本的本数必须为整数，


∴z=8不符合实际题意．


∴刘老师不能买到相同数量的笔记本和钢笔．


【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，列出方程，注意分式方程必须检验．





21．先阅读下面的内容，然后再解答问题．


例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．


解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，


∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．


∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．


∴．


解这个方程组，得：．


解答下面的问题：


（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；


（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．


【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．


【专题】阅读型．


【分析】（1）根据完全平方公式把原式化为（x﹣4）2+（y+5）2=0的形式，根据非负数的性质求出x、y，代入代数式根据乘方法则计算即可；


（2）根据完全平方公式把原式化为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．


【解答】解：（1）∵x2+y2﹣8x+10y+41=0，


∴x2﹣8x+16+y2+10y+25=0．


∴（x﹣4）2+（y+5）2=0．


∴x﹣4=0且y+5=0．


∴x=4，y=﹣5．


∴（x+y）2016=[4+（﹣5）]2016=1．


（2）∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，


∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca．


∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2=0．


∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．


∴a﹣b=0且b﹣c=0且c﹣a=0．


∴a=b=c．


∴△ABC是等边三角形．


【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．





22．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．


（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：AE=CG；


（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．





【考点】全等三角形的判定与性质．


【分析】（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC与△CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．


（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM，即可解答．


【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，


∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．


∴∠CAE=∠BCG．


∵BF⊥CE，


∴∠CBG+∠BCF=90°．


∵∠ACE+∠BCF=90°，


∴∠ACE=∠CBG．


在△AEC和△CGB中，


，


∴△AEC≌△CGB（ASA）．


∴AE=CG．


（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．


证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，


∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．


∴∠CMA=∠BEC．


∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，


在△CAM和△BCE中，


，


∴△CAM≌△BCE（AAS）．


∴AM=CE．


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．








如图，在△ABC中，AC=BC，AD=BD，∠A=30°，在线段AB上求作两点P，Q，使AP=CP=CQ=BQ．
如图，在△ABC中，AC=BC，AD=BD，∠A=30°，在线段AB上求作两点P，Q，使AP=CP=CQ=BQ．