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江西省宜春市2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本
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这是一份江西省宜春市2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．一粒米的质量是0.000025千克，将0.000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣4B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣4D．25×10﹣6
2．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=1，b=﹣6B．a=5，b=6C．a=1，b=6D．a=5，b=﹣6
3．已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．10D．14或16
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25B．84C．42D．21
5．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC沿直线L对折后能与△ADC重合，且AB∥CD，下列选项正确的是（ ）
A．AB=CD，AO=OCB．AB=BD，∠BAD=∠DCB
C．AB∥BC，BC=BDD．OD=OB，∠CDB=∠BCD
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x3﹣9x= ．
8．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
9．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= ．
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE= ．
11．若am=2，an=3，则a3m+2n= ．
12．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
三、（本大题5小题，每小题5分，共25分）
13．先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中=1，b=﹣2．
14．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
15．解分式方程：﹣1=．
16．如图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM．求证：DM=EN．
17．已知：如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
四、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 ；B1 ；C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19．如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四边形AECD的面积．
20．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
五、（本大题共2小题，第21小题8分，第22小题10分，共18分）
21．（1）有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是1：3，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？
（2）如果零件总数为a个，（1）中其它条件不变，则甲、乙两车间每小时各加工多少个零件（用含a的式子表示）．
22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为： ，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系．
2020-2021学年江西省宜春市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．一粒米的质量是0.000025千克，将0.000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣4B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣4D．25×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000025=2.5×10﹣5，
故选：B．
2．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=1，b=﹣6B．a=5，b=6C．a=1，b=6D．a=5，b=﹣6
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），
∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，
故a=1，b=﹣6，
故选：A．
3．已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．10D．14或16
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为底边和腰不明确，分两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，
所以周长=4+4+6=14；
（2）当6是腰时，符合三角形的三边关系，
所以周长=6+6+4=16．
故选D．
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25B．84C．42D．21
【考点】角平分线的性质．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
=•OE•AB+•OD•BC+•OF•AC
=×4×（AB+BC+AC）
=×4×21
=42．
故选C．
5．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式==，
故选B
6．如图，△ABC沿直线L对折后能与△ADC重合，且AB∥CD，下列选项正确的是（ ）
A．AB=CD，AO=OCB．AB=BD，∠BAD=∠DCB
C．AB∥BC，BC=BDD．OD=OB，∠CDB=∠BCD
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质．
【分析】由翻折的性质可知；AD=AB，DC=BC，∠DAC=∠BAC，由平行线的性质可知∠DCA=∠BAC，从而得到∠DAC=∠DCA，故AD=CD，从而可知四边形ABCD为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．
【解答】解：由翻折的性质可知：AD=AB，DC=BC，∠DAC=∠BAC．
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，AO=CO．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式=x（x2﹣9）
=x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
8．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ±6 ．
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
9．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= 124° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠A的度数，再有四边形AFDE的内角和求出∠FDE的度数．
【解答】解：（法一）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°
在四边形AFDE中，
∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°
又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°
∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°
=124°
故答案为：124°
（法二）∵∠AEB=∠ACB+∠EBC=90°，∠AFC=∠ABC+∠FCB=90°，
∴∠CBE=14°，∠FCB=42°，
∵∠BDC=180°﹣∠CBE﹣∠FCB=124°，
∴∠FDE=124°．
故答案为：124°
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE= 9cm ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，得出DE=BD+CE=9cm即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠EAC=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD=9cm．
故答案为：9cm．
11．若am=2，an=3，则a3m+2n= 72 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：∵am=2，an=3，
∴a3m+2n
=（am）3×（an）2
=23×32
=72．
故答案为：72．
12．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° ．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E1时，OE=CE，
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；
②当E在E2点时，OC=OE，
则∠OCE=∠OEC==75°；
③当E在E3时，OC=CE，
则∠OEC=∠AOC=30°；
故答案为：120°或75°或30°．
三、（本大题5小题，每小题5分，共25分）
13．先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中=1，b=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2a2+4ab﹣a2﹣4ab﹣4b2=a2﹣4b2，
当a=1，b=﹣2时，原式=1﹣16=﹣15．
14．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和定理即可列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．根据题意，得：
（n﹣2）180°=120°n
解得：n=6
∴这个多边形的边数为6．
15．解分式方程：﹣1=．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）=18，
化简得3x+9=18，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，原分式方程无解．
16．如图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM．求证：DM=EN．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证出∠DFM=∠EFN，由ASA证明△DFM≌△EFN，即可得出结论DM=EN．
【解答】证明：∵点F是DE的中点，
∴DF=EF，
∵∠DFN=∠EFM，
∴180°﹣∠DFN=180°﹣∠EFM，
∴∠DFM=∠EFN，
在△DFM和△EFN中，，
∴△DFM≌△EFN（ASA）
∴DM=EN．
17．已知：如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB﹣2cm，即可求出答案．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴BD=DC，
∵△ACD的周长是14cm，
∴AD+DC+AC=14cm，
∴AD+BD+AC=AB+AC=14cm，
∵AB比AC长2cm，
∴AC=AB﹣2cm，
∴AC=6cm，AB=8cm．
四、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 （3，2） ；B1 （4，﹣3） ；C1 （1，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积为 6.5 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中作画图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1 （3，2）；B1 （4，﹣3）；C1 （1，﹣1）；
故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
（4）如图所示：P点即为所求．
19．如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四边形AECD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）由角平分线的性质定理证得AE=AF，进而证出△ABE≌△ADF，再得出∠CDA=120°；
（2）四边形AECD的面积化为△ABC的面积+△ACD的面积，根据三角形面积公式求出结论．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠ADF=∠ABE=60°，
∴∠CDA=180°﹣∠ADF=120°；
（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，
∴BC=CE+BE=6，
∴四边形AECD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=+==10．
20．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE，
（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC．
【解答】（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE．
（2）答：直线OA垂直平分BC．
理由如下：连接BC，AO并延长交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC且平分BC．
五、（本大题共2小题，第21小题8分，第22小题10分，共18分）
21．（1）有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是1：3，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？
（2）如果零件总数为a个，（1）中其它条件不变，则甲、乙两车间每小时各加工多少个零件（用含a的式子表示）．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工3x个零件，由工程问题的数量关系工作时间=工作总量÷工作效率建立方程求出其解即可；
（2）设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工3y个零件，由工程问题的数量关系工作时间=工作总量÷工作效率建立方程求出其解即可
【解答】解（1）设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工3x个零件，由题意得：
﹣+3=，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解．
∴3x=60，
∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件；
（2）设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工3y个零件，由题意得：
÷3y﹣+3=÷y，
y=，
∴3y=，
经检验，y=是原方程的解．
故甲车间每小时加工个零件，乙车间每小时加工多少个零件．
22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 60°
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为： AD=BE ，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
∴∠AEB=60°，
故答案为：60°；
②AD=BE，
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）∠AEB=90°，AE﹣BE=2CM，
证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，
∴CM=DM=EM=DE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠CDA=135°，
∴∠AEB=135°﹣45°=90°，
∴BE=AD，
∴AE﹣AD=DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．一粒米的质量是0.000025千克，将0.000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣4B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣4D．25×10﹣6
2．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=1，b=﹣6B．a=5，b=6C．a=1，b=6D．a=5，b=﹣6
3．已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．10D．14或16
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25B．84C．42D．21
5．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC沿直线L对折后能与△ADC重合，且AB∥CD，下列选项正确的是（ ）
A．AB=CD，AO=OCB．AB=BD，∠BAD=∠DCB
C．AB∥BC，BC=BDD．OD=OB，∠CDB=∠BCD
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x3﹣9x= ．
8．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
9．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= ．
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE= ．
11．若am=2，an=3，则a3m+2n= ．
12．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
三、（本大题5小题，每小题5分，共25分）
13．先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中=1，b=﹣2．
14．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
15．解分式方程：﹣1=．
16．如图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM．求证：DM=EN．
17．已知：如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
四、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 ；B1 ；C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19．如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四边形AECD的面积．
20．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
五、（本大题共2小题，第21小题8分，第22小题10分，共18分）
21．（1）有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是1：3，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？
（2）如果零件总数为a个，（1）中其它条件不变，则甲、乙两车间每小时各加工多少个零件（用含a的式子表示）．
22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为： ，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系．
2020-2021学年江西省宜春市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．一粒米的质量是0.000025千克，将0.000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣4B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣4D．25×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000025=2.5×10﹣5，
故选：B．
2．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（ ）
A．a=1，b=﹣6B．a=5，b=6C．a=1，b=6D．a=5，b=﹣6
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），
∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，
故a=1，b=﹣6，
故选：A．
3．已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．10D．14或16
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为底边和腰不明确，分两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，
所以周长=4+4+6=14；
（2）当6是腰时，符合三角形的三边关系，
所以周长=6+6+4=16．
故选D．
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．25B．84C．42D．21
【考点】角平分线的性质．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到OD=OE=OF=4，然后根据三角形面积公式得到△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×4×（AB+BC+AC），再把三角形的周长代入计算即可．
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
=•OE•AB+•OD•BC+•OF•AC
=×4×（AB+BC+AC）
=×4×21
=42．
故选C．
5．化简﹣（a+1）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式==，
故选B
6．如图，△ABC沿直线L对折后能与△ADC重合，且AB∥CD，下列选项正确的是（ ）
A．AB=CD，AO=OCB．AB=BD，∠BAD=∠DCB
C．AB∥BC，BC=BDD．OD=OB，∠CDB=∠BCD
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质．
【分析】由翻折的性质可知；AD=AB，DC=BC，∠DAC=∠BAC，由平行线的性质可知∠DCA=∠BAC，从而得到∠DAC=∠DCA，故AD=CD，从而可知四边形ABCD为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．
【解答】解：由翻折的性质可知：AD=AB，DC=BC，∠DAC=∠BAC．
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，AO=CO．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式=x（x2﹣9）
=x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
8．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ±6 ．
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
9．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= 124° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠A的度数，再有四边形AFDE的内角和求出∠FDE的度数．
【解答】解：（法一）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°
在四边形AFDE中，
∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°
又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°
∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°
=124°
故答案为：124°
（法二）∵∠AEB=∠ACB+∠EBC=90°，∠AFC=∠ABC+∠FCB=90°，
∴∠CBE=14°，∠FCB=42°，
∵∠BDC=180°﹣∠CBE﹣∠FCB=124°，
∴∠FDE=124°．
故答案为：124°
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE= 9cm ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，得出DE=BD+CE=9cm即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠EAC=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD=9cm．
故答案为：9cm．
11．若am=2，an=3，则a3m+2n= 72 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：∵am=2，an=3，
∴a3m+2n
=（am）3×（an）2
=23×32
=72．
故答案为：72．
12．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° ．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E1时，OE=CE，
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；
②当E在E2点时，OC=OE，
则∠OCE=∠OEC==75°；
③当E在E3时，OC=CE，
则∠OEC=∠AOC=30°；
故答案为：120°或75°或30°．
三、（本大题5小题，每小题5分，共25分）
13．先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中=1，b=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2a2+4ab﹣a2﹣4ab﹣4b2=a2﹣4b2，
当a=1，b=﹣2时，原式=1﹣16=﹣15．
14．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和定理即可列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．根据题意，得：
（n﹣2）180°=120°n
解得：n=6
∴这个多边形的边数为6．
15．解分式方程：﹣1=．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）=18，
化简得3x+9=18，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，原分式方程无解．
16．如图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM．求证：DM=EN．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证出∠DFM=∠EFN，由ASA证明△DFM≌△EFN，即可得出结论DM=EN．
【解答】证明：∵点F是DE的中点，
∴DF=EF，
∵∠DFN=∠EFM，
∴180°﹣∠DFN=180°﹣∠EFM，
∴∠DFM=∠EFN，
在△DFM和△EFN中，，
∴△DFM≌△EFN（ASA）
∴DM=EN．
17．已知：如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB﹣2cm，即可求出答案．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴BD=DC，
∵△ACD的周长是14cm，
∴AD+DC+AC=14cm，
∴AD+BD+AC=AB+AC=14cm，
∵AB比AC长2cm，
∴AC=AB﹣2cm，
∴AC=6cm，AB=8cm．
四、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 （3，2） ；B1 （4，﹣3） ；C1 （1，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积为 6.5 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中作画图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1 （3，2）；B1 （4，﹣3）；C1 （1，﹣1）；
故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
（4）如图所示：P点即为所求．
19．如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四边形AECD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）由角平分线的性质定理证得AE=AF，进而证出△ABE≌△ADF，再得出∠CDA=120°；
（2）四边形AECD的面积化为△ABC的面积+△ACD的面积，根据三角形面积公式求出结论．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠ADF=∠ABE=60°，
∴∠CDA=180°﹣∠ADF=120°；
（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，
∴BC=CE+BE=6，
∴四边形AECD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=+==10．
20．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE，
（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC．
【解答】（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE．
（2）答：直线OA垂直平分BC．
理由如下：连接BC，AO并延长交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC且平分BC．
五、（本大题共2小题，第21小题8分，第22小题10分，共18分）
21．（1）有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是1：3，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？
（2）如果零件总数为a个，（1）中其它条件不变，则甲、乙两车间每小时各加工多少个零件（用含a的式子表示）．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工3x个零件，由工程问题的数量关系工作时间=工作总量÷工作效率建立方程求出其解即可；
（2）设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工3y个零件，由工程问题的数量关系工作时间=工作总量÷工作效率建立方程求出其解即可
【解答】解（1）设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工3x个零件，由题意得：
﹣+3=，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解．
∴3x=60，
∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件；
（2）设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工3y个零件，由题意得：
÷3y﹣+3=÷y，
y=，
∴3y=，
经检验，y=是原方程的解．
故甲车间每小时加工个零件，乙车间每小时加工多少个零件．
22．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 60°
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为： AD=BE ，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
∴∠AEB=60°，
故答案为：60°；
②AD=BE，
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）∠AEB=90°，AE﹣BE=2CM，
证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，
∴CM=DM=EM=DE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠CDA=135°，
∴∠AEB=135°﹣45°=90°，
∴BE=AD，
∴AE﹣AD=DE=2CM，
∴AE﹣BE=2CM．
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