华师大版八年级下册17.1 变量与函数精品第1课时学案

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17．1 变量与函数


第1课时 变量与函数的概念及其表示方法


学习目标：


1．掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本的概念；


2．了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．


自主学习


一、知识链接


1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性）．如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 ．同时用“数”来表明“量”的大小．


2．写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系： ．


二、新知预习


阅读教材P28~30，完成下列问题：


1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元/支，总价y(元)随铅笔的数量x(支)的变化而变化，在这个问题中，变量是________________，常量是____________．


2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为：，在这个问题中，常量是 ，变量是 ．


【要点归纳】


变量：在某一变化过程中，可以取 的量，叫做变量．


常量：在某一变化过程中，取值始终 的量，叫做常量．


合作探究


一、探究过程


探究点1：常量与变量


问题1 如图是某日的气温变化图．





看图回答：


（1）这天的6时，10时和14时的气温分别为 ，自己任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温： ；


（2）这一天中，最高气温是 ，最低气温是 ；


（3）这一天中， 时段的气温在逐渐升高， 时段的气温在逐渐降低；


（4）在这张图中，主要体现了哪些数量的变化？


答： ．


（5）在这张图中，你发现任意一个时刻对应的气温有几个？


答： ．


结论：从图中我们可以看到，随着 的变化，相应地 也随之变化．每一个时刻t（时），都有 的气温T（℃）与之对应．


问题2 下表是某年中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率．观察下表：


说一说：（1）在这个问题中，变化的量是 ；


（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取存期x的一个确定的值，都有 的年利率y值和它对应；


（3）随着存期x的增长,相应的年利率y ．


问题3 收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：





（1）在这个问题中，变化的量是 ；


（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取波长λ的一个确定的值，频率f有 值和它对应；


（3）波长λ越大，频率f就 ；


（4）试着找出频率f与波长λ的数值的关系为 ，把频率f用含波长λ的代数式表示为


f = ．


问题4 （1）圆的面积：如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足下列关系:S= .


（2）利用这个关系式,试求出半径为1cm,1.5 cm,2 cm,3 cm,4 cm时圆的面积,并将结果填入下表：（保留π）


（3）由此我们可以发现：在这个问题中变化的量有 个,它们是 ，圆的半径越大，它的面积就 ．


（4）在上述变化过程中，任取圆半径r的一个确定的值，其面积S有 的值和它对应.


【要点归纳】在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些 规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生 的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t（时）和气温T(℃)， 随着 的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取 量，叫做变量(variable)．


问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终 ，我们称之为常量，如问题3中的300 000，问题4中的π等．








探究点2：函数的有关概念


上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应，我们就说x是 ，y是 ，此时也称y是x的函数．例如：


问题1的自变量是 ，因变量是 ，也称 是 的函数．


问题2的自变量是 ，因变量是 ，也称 是 的函数．


问题3的自变量是 ，因变量是 ，也称 是 的函数．


问题4的自变量是 ，因变量是 ，也称 是 的函数．





例1写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量．


（1）等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式；


（2）时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系式；


（3）底边长为10的三角形的面积S与高h之间的关系式；


（4）某种弹簧原长为20厘米,每挂物体1千克,伸长0．2厘米,挂上物体后的长度l(厘米)与所挂的物体的重量m(千克)之间的关系式；


（5）某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0．2升水,饮水机中剩余水量V(升)与放水时间t(分)之间的关系式．




















例2指出下列关系式中，哪些y是x的函数？哪些不是？说出你的理由．


（1）xy=2；(2)y2＝x；（3）x+y=5；（4）│y│=3x+1；（5）y=x2-4x+5；（6）y=│x│．














【针对训练】下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；③y =2|x|；④y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数的是 ．（填序号）








探究点3：函数的表示方式


表示函数关系的方法通常有三种：


(1) ，如问题3中的，问题4中的S＝π r2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．


(2) ，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率的关系表．


(3) ，如问题1中的气温曲线．


二、课堂小结





当堂检测


1．下列说法中，不正确的是（ ）


A．函数不是数，而是一种关系 B．多边形的内角和是边数的函数


C．一天中时间是温度的函数 D．一天中温度是时间的函数


2．下列关系中，y不是x的函数的是( )





3．最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是（ ）


A．8时水位最高


B．P点表示12时水位为0．6米


C．8时到16时水位都在下降


D．这一天水位均高于警戒水位


4．设路程为s(km)，时间为t(h)，速度为v(km/h)，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数．


5．下表是某市2020年统计的该市女学生各年龄组的平均身高．





(1)从表中你能看出该市14岁的女学生的平均身高是 ；


(2)该市女学生的平均身高从 岁开始迅速增加；


(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量？哪个是因变量？











6.分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．


（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；


（2）一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；


（3）有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．














参考答案


自主学习


一、知识链接


1．长度 体积 质量


2．s=vt


二、新知预习


1．总价，铅笔的数量 铅笔的单价


2．π S，r


【要点归纳】不同数值 保持不变


合作探究


一、探究过程


探究点1：常量与变量


问题1


-1℃， 2℃， 5℃ 8时的气温为0℃


5℃ -3℃


3时~14时 0时~3时，14时~24时


时间和气温的变化


任意一个时刻对应的气温只有1个


结论：时间 气温 唯一


问题2


年利率y，存期x


唯一


随之增长


问题3


波长λ，频率f


唯一


越小


f·λ=300000


问题4


πr2


π 2.25π 4π 9π 16π


2 半径r、圆的面积S 越大


唯一


【要点归纳】变化 改变 气温T 时间t 不同数值 保持不变


探究点2：函数的有关概念


唯一 自变量 因变量 t T T t x y y x λ f f λ r S S r


例1解:（1）y=180-2x．常量：-2,180；变量：底角度数x，顶角度数y.


（2）s=110t．常量：110；变量：路程s，时间t.


（3）S=5h．常量：5；变量：面积S，高h.


（4）l=20+0.2m．常量：20,0.2；变量：长度l，所挂物体的重量m.


（5）V=20-0.2t．常量：20,-0.2；变量：剩余水量V，放水时间t.


例2解：（1）（3）（5）（6）中y是x的函数，(2)（4）中y不是x的函数.因为(2)（4）中一个x的值可以对应两个y的值.


【针对训练】① ② ③


探究点3：函数的表示方式


解析法 （2）列表法 （3）图象法


当堂检测


1.C 2.C 3.C 4.s=60t 60 s，t s t


5.解：（1）146.1 cm


（2）12


（3）上表反映了年龄组与女生平均身高之间的关系，年龄组是自变量，女生平均身高是因变量.


6.解：（1）β=90°-α，90°是常量，α、β是变量．


（2）y=20-0.5x，20，-0.5是常量，x，y是变量．


（3）y=（2+x）2-22=4+4x+x2-4=x2+4x，4是常量，x，y是变量．








存期x
三月
六月
一年
二年
三年
五年
年利率y(%)
1．80
2．25
2．52
3．06
3．69
4．14
半径r(cm)
1
1.5
2
3
4
…
圆面积S(cm2)





…
常量与变量的概念
变量
在某一变化过程中，可以取不同值的量，叫做变量．
常量
在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量．
函数的概念
一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法