数学八年级下册1. 矩形的性质精品导学案

这是一份数学八年级下册1. 矩形的性质精品导学案，共7页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

19.1 矩 形


1.矩形的性质


学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；


2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题.


自主学习


一、知识链接


1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？


2．用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？





二、新知预习


1.如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地拉动点D，你会发现什么?





问题1：无论∠D如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？





问题2：当∠D为直角时，四边形ABCD变成了一个怎样的四边形？





于是有矩形定义：有一个角是 的平行四边形是矩形，矩形是特殊的 .


问题3.矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？


【对称性】：矩形既中心对称图形，又是 图形；


【 边 】：矩形的对边平行且相等；


【 角 】：矩形的对角相等，且四个角都是 ；


【对角线】：矩形的对角线 且相互平分.


合作探究


一、探究过程


探究点1：矩形的性质定理1,2


问题1：如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.


求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.


证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.


∴∠B+∠C=_____°.


又∵∠B = 90°,∴∠C =____°.


∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.





问题2：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.


证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,


在△ABC和△DCB中,


∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC____△DCB.


∴AC____DB.


【要点归纳】矩形的性质定理：1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.


几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，则


∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB（延伸：OA=OB =OC=OD=AC=BD）.


例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？














【针对训练】1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长．


分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．











探究点2：矩形的性质与其他知识的综合运用


例2如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长．














例3如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm.求AC、AB的长．








二、课堂小结


当堂检测


1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（ ）


A.对角线相等 B.对边相等


C.对角相等 D.对角线互相平分


2.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，若AB=6，AD=8，则AC＝_____ ，OB=_____.





3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两对角线所夹锐角度数为 .


4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.








5．已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC.求证：EA=ED.





6. 已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．





















































参考答案


自主学习


一、知识链接


1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.


性质：(1)平行四边形的对边相等；(2) 平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分.


2. 没有稳定性.


二、新知预习


1.解：问题1：四边形ABCD还是平行四边形.


问题2：四边形ABCD变成了一个长方形，即矩形.


直角 平行四边形


问题3：轴对称 90° 相等


合作探究


一、探究过程


探究点1：


问题1：= = ∥ 180 90 90


问题2：= 90 ≌ =


【要点归纳】直角 相等


【典例精析】


例1 解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86 cm，


∴AB＋BC＋CD＋DA＋2(OA＋OB＋OC＋OD)＝AB＋BC＋CD＋DA＋2(AC＋BD)＝86，


又∵AC＝BD＝13，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，


即矩形ABCD的周长等于34 cm.


【针对训练】1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OB，


又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2AB=2×4＝8(cm)．


例2 解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝eq \r(25)＝5.


又∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BE，∴BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(3×4,5)＝2.4.





例3解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝15.∴AO＝eq \f(1,2)AC＝7.5.∵AE垂直平分BO，∴AB＝AO＝7.5.


即AC的长为15 cm，AB的长为7.5 cm.


二、课堂小结


1.直角 2.相等


当堂检测


1. A 2. 10 5 3. 80° 4.


5. 证明：在矩形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE.


∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴EA=ED.


6. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB为等边三角形，∠BAO=∠ABO=60°，AB=AO=BO.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，


即△ABE为等腰直角三角形，∠BEA=45°，AB=BE.∴BO=BE.∴∠BOE=∠BEO.在△BOE中，


∠OBE=90°-60°=30°，∴∠BEO=∠BOE=75°.∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°.



































矩行的性质定理
1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.
解题策略
结合等腰（边）三角形、勾股定理等知识解题