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初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆优质学案及答案
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这是一份初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆优质学案及答案，共9页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。
学习目标：
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点)
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
自主学习
一、知识链接
1.正多边形是指_______相等,_________也相等的多边形.
2.n边形的内角和为______________,正n边形的每个内角为_________.
3.用尺规作图，画出已知线段的垂直平分线，及已知角的平分线.
二、新知预习
（预习课本P65-67）填空并完成练习：
任何正多边形都有一个________圆和一个________圆；
正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的________.外接圆的半径叫做正多边形的___________,内切圆的半径叫做正多边形的_________.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的___________.
把圆分成（n＞2）等份，依次连结各等分点所得到的多边形是这个圆的一个_______________.
练习：
1.如图，在正六边形ABCDEF中，中心为点O，OM⊥BC，则该正六边形的半径为____________,边心距为___________,中心角为_________.
第1题图 第2题图
2.如图，正五边形的中心角∠AOB的度数为__________°.
3.已知正六边形的边长为2，则其半径为_______,边心距为_______.
合作探究
要点探究
探究点1：正多边形的对称性
画一画：画出下列各正多边形的对称轴：
问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【要点归纳】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
探究点2：正多边形的有关概念及性质
观察与思考
问题 观察正五边形的各条对称轴，它们有哪些性质？
（1）这些对称轴交于一点O，它们是正五边形各边的_____________,则点O到正五边形___________的距离相等，记作R，那么以点O为圆心，以R为半径的圆经过正五边形的各个顶点，则它是正五边形的__________.
（2）这些对称轴还是正五边形各内角的________________,则点O到正五边形___________的距离相等,记作r.那么以点O为圆心，以r为半径的圆与正五边形的各边_________，则它是正五边形的__________.
想一想 其他的正多边形，是否也能得出同样的(1)(2)中的结论？
【要点归纳】1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
2.正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
填一填：
完成下面表格
【典例精析】
例1 若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
【针对训练】若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．
想一想
1. 怎样把一个圆进行四等分？
2.依次连结各等分点，得到一个什么图形？
探究归纳
把⊙O 进行5等分，依次连结各等分点得到五边形ABCDE .
(1)填空：
①=______;
②_______=______;
③ ∠A_____∠E.
(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
【要点归纳】把圆分成（n＞2）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的一个内接正多边形.
【典例精析】
例2 用尺规作图，作出圆内接正三边形、正八边形.
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
②OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
【典例精析】
例3 如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 ( )
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
图① 图②
【针对训练】如图②，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
例4 有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
【针对训练】如图，已知正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个正八边形的面积．
【方法归纳】圆内接正多边形的辅助线的作法：
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
二、课堂小结
当堂检测
对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
3.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．
4.求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积．将结果填写在下表中：
5.用尺规作图，作出圆的内接正十二边形.
6.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．
（1）求该正六边形的半径、边心距；
（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．
参考答案
自主学习
知识链接
各条边 各个内角
180°•（n-2）
画图略.
新知预习
1.外接 内切 2.中心 半径 边心距 中心角 3.内接正多边形
练习：
1.OB或OC OM ∠BOC 2.72 3.2
合作探究
一、要点探究
探究点1：正多边形的对称性
画一画：如图所示.
问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.
探究点2：正多边形的有关概念及性质
观察与思考
问题
垂直平分线 各个顶点 外接圆 （2）平分线 各边 相切 内切圆
填一填：填表如下：
【典例精析】例1 C 【针对训练】 40°
想一想
1.解：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点A、B 、C、D，则点A、B 、C 、D将圆四等分.
2.解：得到一个正方形.
探究归纳 （1）①3 ② 3 ③=
（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：由（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.
【典例精析】
例2 解：如图所示：
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 ①60 ②= ③等边 ④6
【典例精析】例3 C 【针对训练】 C
例4 解：如图，易知△OCB为等边三角形，故BC=OB=4 m.过点O作OP⊥BC于点P.
在Rt△OPB中,OB＝4m, PB＝
利用勾股定理,可得边心距
故亭子地基的面积
【针对训练】解：如图，连结AO、BO、CO、AC.
∵正八边形ABCDEFGH的半径为R，
∴AO＝BO＝CO＝R，∠AOB＝∠BOC＝＝45°.
∴∠AOC＝90°.∴AC＝R，此时AC与BO垂直.
∴S四边形AOCB＝BO×AC＝×R×R＝R2.
∴正八边形的面积为R2×4＝2R2．
当堂检测
1.B 2.D 3.60°
4.填表如下：
5.解：图略.（提示：在圆内接正六边形的基础上作每条边的垂直平分线并延长，与圆交于6个点，再顺次连结12个点，即为所求内接正十二边形.）
6.解：（1）如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连结OA、OB.过点O作OM⊥AB于点M.
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°.
∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4.
∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝30°，AM＝AB＝2.
∴OM＝AM＝2.故正六边形的的半径为4，边心距为2，中心角为60°.
（2）正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π；外接圆的面积＝π×OA2＝16π．正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
正多边形和圆
正多边形的对称性
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
正多边形的有关概念
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.
正多边形的有关计算
添加辅助线的方法：连半径；作边心距.
圆的内接正多边形
边长
边心距
中心角
面积
正三角形
正方形
正六边形
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
60°
120°
120°
4
90°
90°
90°
6
120°
60°
60°
n
圆的内接正多边形
边长
边心距
中心角
面积
正三角形
2
1
120°
3
正方形
2
90°
8
正六边形
2
60°
6
学习目标：
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点)
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
自主学习
一、知识链接
1.正多边形是指_______相等,_________也相等的多边形.
2.n边形的内角和为______________,正n边形的每个内角为_________.
3.用尺规作图，画出已知线段的垂直平分线，及已知角的平分线.
二、新知预习
（预习课本P65-67）填空并完成练习：
任何正多边形都有一个________圆和一个________圆；
正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的________.外接圆的半径叫做正多边形的___________,内切圆的半径叫做正多边形的_________.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的___________.
把圆分成（n＞2）等份，依次连结各等分点所得到的多边形是这个圆的一个_______________.
练习：
1.如图，在正六边形ABCDEF中，中心为点O，OM⊥BC，则该正六边形的半径为____________,边心距为___________,中心角为_________.
第1题图 第2题图
2.如图，正五边形的中心角∠AOB的度数为__________°.
3.已知正六边形的边长为2，则其半径为_______,边心距为_______.
合作探究
要点探究
探究点1：正多边形的对称性
画一画：画出下列各正多边形的对称轴：
问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【要点归纳】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
探究点2：正多边形的有关概念及性质
观察与思考
问题 观察正五边形的各条对称轴，它们有哪些性质？
（1）这些对称轴交于一点O，它们是正五边形各边的_____________,则点O到正五边形___________的距离相等，记作R，那么以点O为圆心，以R为半径的圆经过正五边形的各个顶点，则它是正五边形的__________.
（2）这些对称轴还是正五边形各内角的________________,则点O到正五边形___________的距离相等,记作r.那么以点O为圆心，以r为半径的圆与正五边形的各边_________，则它是正五边形的__________.
想一想 其他的正多边形，是否也能得出同样的(1)(2)中的结论？
【要点归纳】1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
2.正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
填一填：
完成下面表格
【典例精析】
例1 若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
【针对训练】若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．
想一想
1. 怎样把一个圆进行四等分？
2.依次连结各等分点，得到一个什么图形？
探究归纳
把⊙O 进行5等分，依次连结各等分点得到五边形ABCDE .
(1)填空：
①=______;
②_______=______;
③ ∠A_____∠E.
(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
【要点归纳】把圆分成（n＞2）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的一个内接正多边形.
【典例精析】
例2 用尺规作图，作出圆内接正三边形、正八边形.
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
②OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
【典例精析】
例3 如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 ( )
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
图① 图②
【针对训练】如图②，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
例4 有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
【针对训练】如图，已知正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个正八边形的面积．
【方法归纳】圆内接正多边形的辅助线的作法：
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
二、课堂小结
当堂检测
对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
3.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．
4.求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积．将结果填写在下表中：
5.用尺规作图，作出圆的内接正十二边形.
6.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．
（1）求该正六边形的半径、边心距；
（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．
参考答案
自主学习
知识链接
各条边 各个内角
180°•（n-2）
画图略.
新知预习
1.外接 内切 2.中心 半径 边心距 中心角 3.内接正多边形
练习：
1.OB或OC OM ∠BOC 2.72 3.2
合作探究
一、要点探究
探究点1：正多边形的对称性
画一画：如图所示.
问题 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.
探究点2：正多边形的有关概念及性质
观察与思考
问题
垂直平分线 各个顶点 外接圆 （2）平分线 各边 相切 内切圆
填一填：填表如下：
【典例精析】例1 C 【针对训练】 40°
想一想
1.解：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点A、B 、C、D，则点A、B 、C 、D将圆四等分.
2.解：得到一个正方形.
探究归纳 （1）①3 ② 3 ③=
（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：由（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.
【典例精析】
例2 解：如图所示：
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 ①60 ②= ③等边 ④6
【典例精析】例3 C 【针对训练】 C
例4 解：如图，易知△OCB为等边三角形，故BC=OB=4 m.过点O作OP⊥BC于点P.
在Rt△OPB中,OB＝4m, PB＝
利用勾股定理,可得边心距
故亭子地基的面积
【针对训练】解：如图，连结AO、BO、CO、AC.
∵正八边形ABCDEFGH的半径为R，
∴AO＝BO＝CO＝R，∠AOB＝∠BOC＝＝45°.
∴∠AOC＝90°.∴AC＝R，此时AC与BO垂直.
∴S四边形AOCB＝BO×AC＝×R×R＝R2.
∴正八边形的面积为R2×4＝2R2．
当堂检测
1.B 2.D 3.60°
4.填表如下：
5.解：图略.（提示：在圆内接正六边形的基础上作每条边的垂直平分线并延长，与圆交于6个点，再顺次连结12个点，即为所求内接正十二边形.）
6.解：（1）如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连结OA、OB.过点O作OM⊥AB于点M.
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°.
∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4.
∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝30°，AM＝AB＝2.
∴OM＝AM＝2.故正六边形的的半径为4，边心距为2，中心角为60°.
（2）正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π；外接圆的面积＝π×OA2＝16π．正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
正多边形和圆
正多边形的对称性
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
正多边形的有关概念
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.
正多边形的有关计算
添加辅助线的方法：连半径；作边心距.
圆的内接正多边形
边长
边心距
中心角
面积
正三角形
正方形
正六边形
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
60°
120°
120°
4
90°
90°
90°
6
120°
60°
60°
n
圆的内接正多边形
边长
边心距
中心角
面积
正三角形
2
1
120°
3
正方形
2
90°
8
正六边形
2
60°
6
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