高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀学案及答案，共8页。
平面向量中的易错点分析 重点平面向量数量积公式的理解以及数量积运算律与实数运算律的区别难点对数量积运算律与实数运算律区别的理解考试要求考试         题型  选择题、填空题         难度  容易  核心知识点一：平面向量数量积的概念和几何意义1. 平面向量数量积的概念已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，并规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。 2. 几何意义向量数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积。核心知识点二：平面向量的运算1. 平面向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ。①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（λ∈R）；③分配律：（a＋b）·c＝ a·c＋b·c。2. 平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角。①e·a＝a·e＝|a|cos θ。 ②a⊥b⇔a·b＝0。 ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|。特别地，a·a＝|a|2或|a|＝④cos θ＝⑤|a·b|≤|a||b|3. 平面向量数量积的坐标运算：① |a|＝② a·b＝ x1x2＋y1y2③ a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0④ cos θ＝ 类型一：向量与数量的错误类比例题1  如下命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若a//b，b//c，则a//c；③|a•b|＝|a|•|b|；④若a•b＝a•c，则b＝c；⑤（a•b）c＝a（b•c），其中正确的命题序号有____________。答案：①解析：命题①显然是正确的；对于命题②，我们知道零向量与任何向量都平行，也与任何向量都垂直的特殊向量，所以当b为零向量时，由a//b，b//c是得不到a//c的，故命题②错误；因为|a•b|＝|a|•|b|•|cos＜a，b＞|，所以命题③错误；对于命题④，同样若a为零向量，或即使a不为零向量，但是a⊥b，而且b＝c等情况时，命题是不正确的；对命题⑤，因为a•b，b•c是实数，所以（a•b）c，a（b•c）分别是与向量c，a共线的向量，而若c，a不是共线向量，（a•b）c＝a（b•c）显然是不成立的。综合以上分析可知，正确命题的序号只有①。总结提升：我们在解答向量问题时，特别是与向量概念、运算性质相关的问题时 ，一定要注意向量与数量的区别，数量中的有关运算法则则不能错误地直接照搬到向量运算中来。同样的，平面几何中的而有关性质也不能在向量运算中随便类比。在解答本题这种概念性问题时，只要抓住这些区别，就能正确作出判断。 类型二：由于思维定势忘记分类讨论例题2  在RtΔABC中，求实数k的值。【错解】因为ΔABC是直角三角形，所以，所以，即，所以。【正解】因为所以若A＝90°，则，即，解得；若B＝90°，则，即，解得；若C＝90°，则，即，解得。总结提升：错解中直接认为角A是直角导致漏掉另外两种情况。此题应通过对直角顶点分类讨论加以解决。 类型三：向量运算中出现非等价转化例题3  已知在直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（4，0），C（k＋1，5），向量的夹角为，求实数k的值。【错解】由已知得，因为的夹角为，所以，即，等式两边平方整理得，解得。【正解】因为向量的夹角为，所以，即k＜0，所以k＝－5。总结提升：在涉及向量数量积的运算时，要注意若向量夹角为锐角，则数量积大于零；若向量夹角为直角，则数量积等于零；若夹角为钝角，则数量积小于零。在对含有参数的等式变形时，要特别注意转化的等价性，特别是有平方、开方等运算时，要对正负值进行正确的取舍。 类型四：不清楚向量数量积的符号与夹角大小的关系例题4  已知向量a＝，b＝，若a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________。【错解】因为a，b的夹角为钝角，所以cos＜a，b＞，所以a•b＜0，所以，解得。【正解】首先由cos＜a，b＞＜0，得。另一方面，若a//b，则，解得x＝0或x＝。而综合以上分析可知，当a，b的夹角为钝角时，x的取值范围是。总结提升：要能正确地解答这类题目，我们要记住：两个非零向量的夹角θ的取值范围是闭区间[0，π]。若a•b＝0，则等价于角θ为直角；而a•b＜0或a•b＞0却不等价于角θ为钝角或锐角，因为当角θ等于π或0时，也满足不等式。由上例可知，命题的逆命题却都是成立的。 向量学习中应注意的问题：1. 要区别向量a与实数a；2. 要注意区别向量0与实数0；3. 要区别向量的数量积a•b与实数乘法ab；4. 从a•b＝0不能推出a＝0或b＝0，但可推出以下四种可能：（1）a＝0，b＝0；（2）b＝0，a≠0；（3）a＝0，b＝0；（4）a≠0，b≠0，但a⊥b。而在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0。5. 数量积不满足消去律b•c＝c•a，c≠0不能推出b＝a。 （答题时间：40分钟）一、选择题1. 已知单位向量a，b，则（2a＋b）·（2a－b）的值为（　　）A.         B.          C. 3         D. 52. 若向量a，b满足，b＝（1，－3），a·b＝5，则a与b的夹角为（　　）A.         B.          C.       D. 3. 若向量a，b满足|a|＝1，（a＋b）⊥a，（3a＋b）⊥b，则|b|＝（　　）A. 3          B.          C. 1        D. 4. 在△ABC中，C＝90°，CA＝CB＝1，则＝（　　）A. －1       B.         C. 1          D. －5. 在△ABC中，若=++，则△ABC是（　　）A. 等边三角形            B. 锐角三角形C. 钝角三角形              D. 直角三角形 二、填空题6. 已知向量m＝（1，2），n＝（2，3），则m在m－n方向上的投影为　 　　 　 。 7. 已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　　　。8. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m），若a⊥（ma－b），则m＝　　 　　。9. 已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝　　　　。 10. 已知向量a，b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则|a－2b|＝　　　　。 三、解答题11. 设向量a＝（sin x，cos x），b＝（－1，1），c＝（1，1）（其中x∈[0，π]）。（1）若（a＋b）∥c，求实数x的值；（2）若a·b＝，求sin的值。12. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sin x，cos x），x∈。（1）若m⊥n，求tan x的值；（2）若m与n的夹角为，求x的值。 
1. 答案：C解析：由题意得（2a＋b）·（2a－b）＝4a2－b2＝4－1＝3。故选C。2. 答案：C解析：由已知得cos＜a，b≥，∵0≤＜a，b＞≤π，∴＜a，b≥，故选C。3. 答案：B解析：由题意知消去a·b，得|b|=，故选B。4. 答案：A解析：由题意，得＜，，||=1，||=，则·=||·|| cos＝1××＝－1。5. 答案：D解：由=·+·+·，得=·-·+·=·（-）+·=+·，∴·=0，∴∠C＝90°，∴ △ABC为直角三角形，故选D。6. 答案：－解析：向量m＝（1，2），n＝（2，3），∴m－n＝（－1，－1），则m·（m－n）＝－3，|m－n|＝，∴m在m－n方向上的投影为。7. 答案：解析：由题意不妨取e1＝（1，0），e2＝（0，1），由条件可设a＝e1－e2＝（，－1），b＝e1＋λe2＝（1，λ），所以cos＜a，b≥cos 60°＝=，所以－λ＝，解得λ＝。8. 答案：－1解析：∵a＝（1，0），b＝（－1，m），∴ma－b＝（m＋1，－m），又∵a⊥（ma－b），∴a·（ma－b）＝m＋1＝0，即m＝－1。9. 答案：解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a·b＝0，所以3－2m＝0，解得m＝。10. 答案：2解析：|a－2b|＝=211. 解：（1）由（a＋b）∥c可得（sin x－1）－（cos x＋1）＝0，∴sin x－cos x＝2，即2＝2，即sin＝1，又x∈[0，π]，∴x－∈，∴x－=，∴x＝。（2）由a·b＝－sin x＋cos x＝，可得2（－sin x＋cos x）＝，∴sin=，又x∈[0，π]，∴x＋∈，∴cos＝－，∴sin＝sin＝－cos=。12. 解：（1）因为m·n＝，所以sin x＝cos x，所以tan x＝＝1。（2）由题知cos=，所以sin=，又因为x－，所以，即x＝。