期末复习：立体几何中的转化策略同步练习

立体几何中的转化策略同步练习

立体几何中的转化策略（一）

——降维转化与等积转化同步练习

（答题时间：40分钟）

1. 如图，A1A是圆柱的母线，圆柱底面圆的直径为 AB=5，C 是底面圆周上异于 A，B 的点，A1A=BC=4则点 A 到平面 A1BC 的距离为（    ）

A. 3 B.  C. 3 D.

2. 已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。

3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，M为PC的中点。

（1）求证：PC⊥AD；

（2）求点D到平面PAM的距离。

4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在A1B上。

（1）求证：BC⊥A1B；

（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P-A1BC的体积。

5. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点。

（1）求证：DE⊥平面BCE；

（2）求证：AF//平面BDE。

立体几何中的转化策略（一）

——降维转化与等积转化同步练习参考答案

1. 答案：B

解析：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵A1A⊥面ABC，BC面ABC，

∴A1A⊥BC，又AC∩A1A=A，∴BC⊥平面A1AC。

设点A到平面A1CB的高为h，则

2. 解析：∵SA⊥面ABC，BC面ABC，∴BC⊥SA，

又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，AE面ABC，

∴BC⊥AE，又因为AE⊥SB，

∴AE⊥面SBC，SC面SBC，

∴AE⊥SC，又AF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，EF面AEF，∴EF⊥SC。

3. 解析：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC。依题意可知ΔPAD，ΔACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC平面POC，OP平面POC，

∴AD⊥平面POC，又PC平面POC，∴PC⊥AD。

（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，

由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，即PO是三棱锥P－ACD的高。

在Rt ΔPOC中，PO=OC=，则PC=，

在ΔPAC中，PA=AC=2，PC=，则AM=

∴

设点D平面PAC的距离为h，由VD-PAC=VP-ACD，得

又

∴解得∴点D到平面PAM的距离为

4. 解析：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A１BC，且BC平面A１BC，∴AD⊥BC。

又AA１平面A１AB，AD平面A１AB，A１A∩AD＝A，

∴BC⊥平面A１AB，由A１B平面A１AB，∴BC⊥A１B。

（2）在直三棱柱ABC－A１B１C１中，A1A⊥平面A1BC，∴AD⊥A1B。

在RtΔABD中，AD=，AB=BC=2，∴

在RtΔABA1中，AA1=AB·tan60°=。

由（1）知BC⊥AB，∴

∵P为AC的中点，

∴∴

5. 证明：（1）易求得DE=，EC=，DC=2a，∴DE2+EC2=DC2，∴DE⊥EC。

又因为BC⊥平面CDD1C1，DE平面CDD1C1，∴BC⊥DE。又BC∩EC=C，∴DE⊥平面BCE。

（2）设点M为A1B1的中点，连接FM，MA。

∵EM//AD，EM=AD，∴四边形EMAD为平行四边形，∴DE//AM，DE平面DEB中，

∴AM//平面DEB。易证FM//DB，DB平面DEB中，∴FM//平面DEB。

又FM∩AM=M，∴平面FMA//平面DEB，AF平面DEB，∴AF//平面BDE。

立体几何中的转化策略（二）

——动静转化与割补转化同步练习

（答题时间：40分钟）

1. 有一根长为，底面直径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁罐上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______cm。

2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中取点A1，C1，B，D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积。

3. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果AB=PA。

求：平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小。

4. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。

立体几何中的转化策略（二）

——动静转化与割补转化同步练习参考答案

1. 答案：

解析：将圆柱沿着母线展开，如图所示，则AC的长度为铁丝的最短长度。

则。

2. 解法1：因为正方体的棱长为a，此多面体是正四面体，其棱长为。

，

。

解法2：V正四面体=V正方体-4V三棱锥=

3. 解析：如图所示，将图补成一个正方体。

∴平面ABP即为平面ABB1P所在平面。

∴平面PDC即为平面PDCB１所在平面。

∴所求二面角即为正方体的对角面PDCB１与侧面ABB１P所成角。

即。

4. 解析：将四棱锥A1－EBFD1分割成两个三棱锥A1-EBD１和A1-BFD1，则

，

过点F作FM⊥D1C，垂足为M。

∵A1D1⊥平面DD1C1C，FM，

∴A1D1⊥FM，又A1D1∩D1C=D1，∴FM⊥平面A1D1B。

，

∴四棱锥A1－EBFD1的体积为。