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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优质导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优质导学案，共16页。
正余弦定理的应用
正余弦定理在三角形中的应用
重点
1. 会熟练准确将公式正用，逆用，变形用；
2. 三角形面积的计算，并会求解最值问题。
难点
公式的灵活应用以及边角互化思想的理解。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：正余弦定理以及变形公式
1. 正弦定理：＝＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）。
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C。
2. 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C。
核心知识点二：三角形面积公式
三角形面积：S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A。
核心知识点三：判断三角形的形状特征
必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一。
①等腰三角形：a＝b或A＝B。
②直角三角形： b2＋c2＝a2或 A＝90°
③钝角三角形： a2＞b2＋c2 或 A＞90°。
④锐角三角形：若a为最大边，且满足 a2＜b2＋c2 或A为最大角，且 A＜90° 。
典例一：利用正余弦定理求解三角形
例题1 （1）在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c。
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－。
求角B的大小。
解：（1）∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°。由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4。∴b＝4，c＝4＋4。
（2）由余弦定理知：
cos B＝，cos C＝。
将上式代入＝－得：·＝－，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac。∴cos B＝＝＝－。
∵B为三角形的内角，∴B＝π。
总结提升：
1. 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。
2. 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用。
3. 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。
典例二：判断三角形的形状
例题2 在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，已知2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC。
（1）求角A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状。
解：（1）由已知得：2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c。
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA＝－
∵A∈（0°，180°），∴A＝120°。
（2）由（1）得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC=
即，即。
又sinB＋sinC＝1得sinB＝sinC＝
∵0°
总结提升：
有关三角形形状的判定时，方法大致如下：
1. 探究内角的大小或取值范围确定形式；
2. 对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断。
典例三：求解三角形中的最值、面积问题
例题3 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0。
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值。
解：（1）由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0。
因为B＝π－A－C，sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0。易知sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，
所以sin＝。又0＜A＜π，－＜A－＜，即A－＝，所以A＝。
（2）法一 由（1）得B＋C＝C＝－B，
由正弦定理得＝＝＝＝，所以b＝sin B，c＝sin C。
所以S△ABC＝bcsin A＝×sin B×sin C·sin ＝sin B·sin C
＝·sin B·sin＝＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋。
易知－＜2B－＜，故当2B－＝，
即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝。
法二 由（1）知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos ，
即b2＋c2－bc＝4bc＋4＝b2＋c2≥2bcbc≤4，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立。
所以S△ABC＝bcsin A＝×bc≤×4＝，
即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为。
总结提升：
1. 求解三角形中的最值问题常用如下方法：
（1）将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值。（2）将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值。
2. 求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式S＝absin C，S＝acsin B，S＝bcsin A。
1.解三角形中要根据所给边角关系灵活选择恰当的公式，对于已知两边及其中一边的对角情况，要根据边的大小关系确定角的大小关系，从而验证所求解是否符合题意；
2.判断三角形形状：要注意边角互化原则，将题目条件中的角全部化为边或边全部化为角；
3.面积、最值问题：选择面积公式通常选择已知角所对应的面积公式；解决最值问题时，通常将所求问题转化为一个角或一边的函数形式，再结合函数的性质求解；另外，有时涉及到面积、周长最值问题时，也常利用基本不等式求最值。
（答题时间：30分钟）
1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B的值为（ ）
A. － B.
C. －1 D. 1
2. 若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB的值为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4且C＝60°，则ab的值为（ ）
A. B. 8－4
C. 1 D.
4. 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是（ ）
A. （0，] B. [，π）
C. （0，] D. [，π）
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC，则角C等于____________。
6. 在△ABC中，若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），则△ABC的形状是____________。
1. 答案：D
解析：根据正弦定理，由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B。
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故选D。
2. 答案：D
解析：结合正弦定理得：6a＝4b＝3c
设3c＝12k（k>0） 则a＝2k，b＝3k，c＝4k。
由余弦定理得cosB＝＝＝，选D。
3. 答案：A
解析：由已知得：
两式相减得：ab＝，选A。
4. 答案：C
解析：由已知得：a2≤b2＋c2－bc
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc
∴cosA≥ ∵A∈（0，π），∴A∈（0，]，选C。
5. 答案：
解析：由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC。
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC＝cosC，
又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝。
6. 答案：等腰或直角三角形
解析：∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），
∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B。
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B。
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝。
∴△ABC为等腰或直角三角形。
方法二 由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），
∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。
即a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC为等腰或直角三角形。
正、余弦定理的实际应用
重点
1. 分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。
2. 能根据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。
难点
根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）。
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；
（3）方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。
核心知识点二：解三角形应用题常有以下两种情形
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解。
典例一：测量距离问题
例题1 如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km。
（1）求证：AB＝BD；
（2）求BD。
（1）证明：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1。又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA。
（2）解：在△ABC中，＝，
即AB＝＝（km），
因此，BD＝（km）
故B、D的距离约为km。
总结提升：
（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型。
（2）利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解。
（3）应用题要注意作答。
典例二：测量高度问题
例题2 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：m）如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β。
（1）该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
解：（1）由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD得＋＝解得H＝＝＝124。
因此，算出的电视塔的高度H是124 m。
（2）由题设知d＝AB，得tan α＝。
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，
所以tan（α－β）＝＝≤，
当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号。所以当d＝55时，tan（α－β）最大。因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大。故所求的d是55 m。
总结提升：
（1）测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念。
（2）分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理。
（3）注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形。
典例三：测量角度问题
例题3 我国海军在东海举行大规模演习。在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（－1）km的B处有一艘“敌舰”。在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 km/h的速度追截“敌舰”。此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？
解：设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD＝10t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos 120°＝6
∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝。
∴∠ABC＝45°，
∴BC与正北方向垂直。
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°。
即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”。
1.解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
2.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
3.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
（答题时间：30分钟）
1. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。
2. 某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________。
3. 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________。
4. 在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________。
5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米。
1. 答案：30
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30 （m），
ON＝AOtan 60°＝30（m），
由余弦定理得，
MN＝＝30（m）。
2. 答案：或2
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得（）2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意。
3. 答案：a
解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，
所以AC＝a。①
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a。 ②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，
所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为
AB＝＝a。
4. 答案：60°
解析：由A作垂线AH⊥BC于H。
因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°＝×2×DC·＝3－，所以DC＝2（－1），又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos 60°＝1，∴HC＝2（－1）－DH＝2－3。
又BD＝CD，∴BD＝－1，∴BH＝BD＋DH＝。又AH＝AD·sin 60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°。
又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，
所以∠HAC＝15°。又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，
故所求角为60°。
5. 答案：10
解析：在△BCD中，CD＝10（米），∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10（米）。在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10（米）。
正余弦定理的应用
正余弦定理在三角形中的应用
重点
1. 会熟练准确将公式正用，逆用，变形用；
2. 三角形面积的计算，并会求解最值问题。
难点
公式的灵活应用以及边角互化思想的理解。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：正余弦定理以及变形公式
1. 正弦定理：＝＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）。
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C。
2. 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C。
核心知识点二：三角形面积公式
三角形面积：S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A。
核心知识点三：判断三角形的形状特征
必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一。
①等腰三角形：a＝b或A＝B。
②直角三角形： b2＋c2＝a2或 A＝90°
③钝角三角形： a2＞b2＋c2 或 A＞90°。
④锐角三角形：若a为最大边，且满足 a2＜b2＋c2 或A为最大角，且 A＜90° 。
典例一：利用正余弦定理求解三角形
例题1 （1）在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c。
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－。
求角B的大小。
解：（1）∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°。由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4。∴b＝4，c＝4＋4。
（2）由余弦定理知：
cos B＝，cos C＝。
将上式代入＝－得：·＝－，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac。∴cos B＝＝＝－。
∵B为三角形的内角，∴B＝π。
总结提升：
1. 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。
2. 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用。
3. 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。
典例二：判断三角形的形状
例题2 在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，已知2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC。
（1）求角A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状。
解：（1）由已知得：2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c。
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA＝－
∵A∈（0°，180°），∴A＝120°。
（2）由（1）得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC=
即，即。
又sinB＋sinC＝1得sinB＝sinC＝
∵0°
总结提升：
有关三角形形状的判定时，方法大致如下：
1. 探究内角的大小或取值范围确定形式；
2. 对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断。
典例三：求解三角形中的最值、面积问题
例题3 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0。
（1）求A；
（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值。
解：（1）由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0。
因为B＝π－A－C，sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0。易知sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，
所以sin＝。又0＜A＜π，－＜A－＜，即A－＝，所以A＝。
（2）法一 由（1）得B＋C＝C＝－B，
由正弦定理得＝＝＝＝，所以b＝sin B，c＝sin C。
所以S△ABC＝bcsin A＝×sin B×sin C·sin ＝sin B·sin C
＝·sin B·sin＝＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋。
易知－＜2B－＜，故当2B－＝，
即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝。
法二 由（1）知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos ，
即b2＋c2－bc＝4bc＋4＝b2＋c2≥2bcbc≤4，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立。
所以S△ABC＝bcsin A＝×bc≤×4＝，
即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为。
总结提升：
1. 求解三角形中的最值问题常用如下方法：
（1）将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值。（2）将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值。
2. 求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式S＝absin C，S＝acsin B，S＝bcsin A。
1.解三角形中要根据所给边角关系灵活选择恰当的公式，对于已知两边及其中一边的对角情况，要根据边的大小关系确定角的大小关系，从而验证所求解是否符合题意；
2.判断三角形形状：要注意边角互化原则，将题目条件中的角全部化为边或边全部化为角；
3.面积、最值问题：选择面积公式通常选择已知角所对应的面积公式；解决最值问题时，通常将所求问题转化为一个角或一边的函数形式，再结合函数的性质求解；另外，有时涉及到面积、周长最值问题时，也常利用基本不等式求最值。
（答题时间：30分钟）
1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B的值为（ ）
A. － B.
C. －1 D. 1
2. 若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB的值为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4且C＝60°，则ab的值为（ ）
A. B. 8－4
C. 1 D.
4. 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是（ ）
A. （0，] B. [，π）
C. （0，] D. [，π）
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC，则角C等于____________。
6. 在△ABC中，若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），则△ABC的形状是____________。
1. 答案：D
解析：根据正弦定理，由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B。
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故选D。
2. 答案：D
解析：结合正弦定理得：6a＝4b＝3c
设3c＝12k（k>0） 则a＝2k，b＝3k，c＝4k。
由余弦定理得cosB＝＝＝，选D。
3. 答案：A
解析：由已知得：
两式相减得：ab＝，选A。
4. 答案：C
解析：由已知得：a2≤b2＋c2－bc
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc
∴cosA≥ ∵A∈（0，π），∴A∈（0，]，选C。
5. 答案：
解析：由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC。
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC＝cosC，
又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝。
6. 答案：等腰或直角三角形
解析：∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），
∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B。
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B。
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝。
∴△ABC为等腰或直角三角形。
方法二 由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），
∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。
即a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC为等腰或直角三角形。
正、余弦定理的实际应用
重点
1. 分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。
2. 能根据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。
难点
根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）。
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；
（3）方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。
核心知识点二：解三角形应用题常有以下两种情形
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解。
典例一：测量距离问题
例题1 如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km。
（1）求证：AB＝BD；
（2）求BD。
（1）证明：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1。又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA。
（2）解：在△ABC中，＝，
即AB＝＝（km），
因此，BD＝（km）
故B、D的距离约为km。
总结提升：
（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型。
（2）利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解。
（3）应用题要注意作答。
典例二：测量高度问题
例题2 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：m）如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β。
（1）该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
解：（1）由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD得＋＝解得H＝＝＝124。
因此，算出的电视塔的高度H是124 m。
（2）由题设知d＝AB，得tan α＝。
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，
所以tan（α－β）＝＝≤，
当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号。所以当d＝55时，tan（α－β）最大。因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大。故所求的d是55 m。
总结提升：
（1）测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念。
（2）分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理。
（3）注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形。
典例三：测量角度问题
例题3 我国海军在东海举行大规模演习。在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（－1）km的B处有一艘“敌舰”。在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 km/h的速度追截“敌舰”。此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？
解：设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD＝10t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos 120°＝6
∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝。
∴∠ABC＝45°，
∴BC与正北方向垂直。
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°。
即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”。
1.解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
2.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
3.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
（答题时间：30分钟）
1. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。
2. 某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________。
3. 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________。
4. 在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________。
5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米。
1. 答案：30
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30 （m），
ON＝AOtan 60°＝30（m），
由余弦定理得，
MN＝＝30（m）。
2. 答案：或2
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得（）2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意。
3. 答案：a
解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，
所以AC＝a。①
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a。 ②
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，
所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为
AB＝＝a。
4. 答案：60°
解析：由A作垂线AH⊥BC于H。
因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°＝×2×DC·＝3－，所以DC＝2（－1），又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos 60°＝1，∴HC＝2（－1）－DH＝2－3。
又BD＝CD，∴BD＝－1，∴BH＝BD＋DH＝。又AH＝AD·sin 60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°。
又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，
所以∠HAC＝15°。又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，
故所求角为60°。
5. 答案：10
解析：在△BCD中，CD＝10（米），∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10（米）。在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10（米）。
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