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空间向量与立体几何（二）
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合优秀导学案及答案，共17页。
空间向量与立体几何（二）
空间向量基本定理及坐标表示
重点
1. 理解空间向量的基本定理及其意义；
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
难点
用不用的基底表示空间任一向量
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：空间向量基本定理
定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得，其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量。空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
核心知识点二：空间向量的正交分解
如果空间中的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
注意：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。
（2）与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
核心知识点三：空间直角坐标系及向量坐标
1. 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底。以点O为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分。
教材中所用的坐标系都是右手直角坐标系，其规则是：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向。
2. 空间点的坐标：数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数（x，y）表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组（x，y，z）表示。
在空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中z叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
3. 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。有序实数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作。
类型一：基底的判断
例题1 若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底。
【解析】假设共面，则存在实数λ，μ使得λ＋μ，∴。
∵为基底。∴不共面。
∴此方程组无解，∴不共面。
∴可以作为空间的一个基底。
总结提升：
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面。如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断。
类型二：用基底表示向量
例题2 四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC。设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用，，表示，，，。
【解析】连接BO，则＝＝（＋）＝（＋＋）＝（－－）＝－－＋。
＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－－＋。
＝＋＝＋＋（＋）＝－＋＋（－＋）＝－＋＋。
＝＝＝。
总结提升：
用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则。
类型三：用坐标表示空间向量
例题3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1。在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标。
【解析】因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝，＝，＝。
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）
＝＋＝＋。
∴＝（0，，）。
总结提升：
用坐标表示空间向量的方法与步骤：
1. 三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件。
2. 用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底为单位正交基底，可由得到的坐标为（x，y，z）。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③若，是两个不共线的向量，而＝λ＋μ（λ，μ∈R且λμ≠0），则{，，}构成空间的一个基底。
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. 已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量＝＋，＝－构成基底的向量是（ ）
A. B.
C. ＋2 D. ＋2
3. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M。设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. －＋＋ B. ＋＋
C. －＋ D. －－＋
4. 已知点A在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），其中＝，＝，＝，则点A在基底下的坐标为（ ）
A. （7，3，12） B. （12，7，3）
C. （2，4，6） D. （12，3，7）
二、解答题
5. 如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点。设＝，＝，＝，试用向量，，表示向量。
6. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。
（1）化简：－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值。
1. 答案：C
解析：①正确。基底的向量必须不共面；②正确；③不对，，不共线，当＝λ＋μ时，，共面，故只有①②正确。
2. 答案：D
解析：能与，构成基底，则与，不共面。
∵，，＋2＝。
∴A、B、C都不合题意。因为{，，}为基底，
∴＋2与，不共面，可构成基底。
3. 答案：A
解析：＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－＋＋。
4. 答案：A
解析：设O为坐标原点，则＝＋2＋3＝＋2＋3＝，
∴点A在下的坐标为（7，3，12）。
5. 解：＝－。
∵＝＝（＋）＝（＋），
＝＋＝＋＝＋（－）
＝＋×（＋）＝＋（＋），
∴＝（＋）－－（＋）＝－＋＋，
即＝－＋＋。
6. 解：（1）∵＋＝，
∴－－＝－（＋）
＝－＝－＝。
（2）∵＝＋＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－。
空间向量运算的坐标表示
重点
空间向量运算的坐标表示；能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题
难点
选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：空间向量的加减和数乘的坐标表示
设，。
（1）；
（2）；
（3）（λ∈R）；
（4）若，则⇔（λ∈R）⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3。
核心知识点二：空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若，，则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
核心知识点三：空间向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）。
（1） ＝（a2－a1，b2－b1，c2－c1）；
（2）dAB＝||＝。
注意：
1. 空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标。
2. 长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关。
类型一：空间向量的坐标运算
例题1 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2），设＝，＝。
求：（1）；（2）；（3）；（4）cos〈，〉。
【解析】因为A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2），所以＝＝（2，1，3），＝＝（2，0，－6）。
（1）＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（2，1，3）＋（4，0，－12）＝（6，1，－9）；
（2）＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）；
（3）＝||2－||2＝（22＋12＋32）－（22＋02＋62）＝－26；
（4）＝
＝。
总结提升：
（1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（2）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外。
（3）空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用。
类型二：坐标形式下平行与垂直的应用
例题2 设＝（1，5，－1），＝（－2，3，5）。
（1）若，求k；
（2）若，求k。
【解析】法一：＝（k－2，5k＋3，－k＋5）。
＝（1＋3×2，5－3×3，－1－3×5）＝（7，－4，－16）。
（1）因为，
所以＝＝，解得k＝－。
（2）因为，所以（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0，解得k＝。
法二：（1）因为，
所以，即。
因为与不共线，所以有解得k＝－。
（2）因为，
所以（k＋）·（－3）＝0，
即k||2－（3k－1）·－3||2＝0。
而||2＝27，||2＝38，·＝8，
所以27k－8（3k－1）－114＝0，
解得k＝。
总结提升：
（1）要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算。
（2）在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件。在条件不明确时，要分类讨论。
类型三：利用坐标运算解决夹角、距离问题
例题3 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点。
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值。
【解析】如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz。
（1）依题意得B（0，1，0），
N（1，0，1），
∴||＝，
∴线段BN的长为。
（2）依题意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），
∴·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3。
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝。
故A1B与B1C所成角的余弦值为。
总结提升：在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求。利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单。
1. 在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况。
2. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法：
3. 若〈，〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cos θ＝|cos α|。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知＝（1，1，0），＝（0，1，1），＝（1，0，1），，，则＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. －2
2. 已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知＝（2，0，3），＝（4，－2，1），＝（－2，x，2），若（－）⊥，则x等于（ ）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
4. 已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O（0，0，0），＋λ与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A. ± B.
C. － D. ±
二、填空题
5. 已知向量＝（0，－1，1），＝（4，1，0），|λ＋|＝，且λ>0，则λ＝________。
6. 已知3－2＝（－2，0，4），＝（－2，1，2），·＝2，||＝4，则cos〈，〉＝________。
三、解答题
7. 已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动（O为坐标原点）。当·取最小值时，求点Q的坐标。
1. 答案：A
解析：∵＝（1，0，－1），
＝（0，3，1），
∴＝1×0＋0×3＋1×（－1）＝－1。
2. 答案：C
解析：＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），
＝（2，－3，1），
∴||＝，
||＝，
||＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2。
∴△ABC为直角三角形。
3. 答案：B
解析：∵－＝（－2，2，2），又（－）⊥，
（－）·＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4。
4. 答案：C
解析：∵＝（1，0，0），＝（0，－1，1），
∴＋＝（1，－λ，λ），
∴（＋λ）＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝，
||＝。
∴cos 120°＝，∴λ2＝。
又<0，∴λ＝－。
5. 答案：3
解析：＝（0，－1，1），＝（4，1，0），
∴λ＋＝（4，1－λ，λ）。
∵|λ＋|＝，∴16＋（1－λ）2＋λ2＝29。
∴λ2－λ－6＝0。∴λ＝3或λ＝－2。
∵λ>0，∴λ＝3。
6. 答案：－
解析：（3－2）·＝（－2，0，4）·（－2，1，2）＝12，
即3·－2·＝12。
由·＝2，得·＝－3。
又∵||＝3，||＝4，
∴cos〈，〉＝－。
7. 解：＝（1，1，2），因为点Q在直线OP上，所以与共线，
故可设＝λ＝（λ，λ，2λ），其中λ为实数，
则Q（λ，λ，2λ），
所以＝（1－λ，2－λ，3－2λ），
＝（2－λ，1－λ，2－2λ），
所以·＝（1－λ）·（2－λ）＋（2－λ）·（1－λ）＋（3－2λ）·（2－2λ）
＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－）2－。
所以当λ＝时，·取最小值。
此时Q点坐标为（，，）。
空间向量与立体几何（二）
空间向量基本定理及坐标表示
重点
1. 理解空间向量的基本定理及其意义；
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
难点
用不用的基底表示空间任一向量
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：空间向量基本定理
定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得，其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量。空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
核心知识点二：空间向量的正交分解
如果空间中的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
注意：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。
（2）与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
核心知识点三：空间直角坐标系及向量坐标
1. 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底。以点O为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分。
教材中所用的坐标系都是右手直角坐标系，其规则是：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向。
2. 空间点的坐标：数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数（x，y）表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组（x，y，z）表示。
在空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中z叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
3. 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。有序实数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作。
类型一：基底的判断
例题1 若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底。
【解析】假设共面，则存在实数λ，μ使得λ＋μ，∴。
∵为基底。∴不共面。
∴此方程组无解，∴不共面。
∴可以作为空间的一个基底。
总结提升：
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面。如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断。
类型二：用基底表示向量
例题2 四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC。设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用，，表示，，，。
【解析】连接BO，则＝＝（＋）＝（＋＋）＝（－－）＝－－＋。
＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－－＋。
＝＋＝＋＋（＋）＝－＋＋（－＋）＝－＋＋。
＝＝＝。
总结提升：
用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则。
类型三：用坐标表示空间向量
例题3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1。在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标。
【解析】因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝，＝，＝。
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）
＝＋＝＋。
∴＝（0，，）。
总结提升：
用坐标表示空间向量的方法与步骤：
1. 三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件。
2. 用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底为单位正交基底，可由得到的坐标为（x，y，z）。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③若，是两个不共线的向量，而＝λ＋μ（λ，μ∈R且λμ≠0），则{，，}构成空间的一个基底。
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. 已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量＝＋，＝－构成基底的向量是（ ）
A. B.
C. ＋2 D. ＋2
3. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M。设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. －＋＋ B. ＋＋
C. －＋ D. －－＋
4. 已知点A在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），其中＝，＝，＝，则点A在基底下的坐标为（ ）
A. （7，3，12） B. （12，7，3）
C. （2，4，6） D. （12，3，7）
二、解答题
5. 如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点。设＝，＝，＝，试用向量，，表示向量。
6. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。
（1）化简：－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值。
1. 答案：C
解析：①正确。基底的向量必须不共面；②正确；③不对，，不共线，当＝λ＋μ时，，共面，故只有①②正确。
2. 答案：D
解析：能与，构成基底，则与，不共面。
∵，，＋2＝。
∴A、B、C都不合题意。因为{，，}为基底，
∴＋2与，不共面，可构成基底。
3. 答案：A
解析：＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－＋＋。
4. 答案：A
解析：设O为坐标原点，则＝＋2＋3＝＋2＋3＝，
∴点A在下的坐标为（7，3，12）。
5. 解：＝－。
∵＝＝（＋）＝（＋），
＝＋＝＋＝＋（－）
＝＋×（＋）＝＋（＋），
∴＝（＋）－－（＋）＝－＋＋，
即＝－＋＋。
6. 解：（1）∵＋＝，
∴－－＝－（＋）
＝－＝－＝。
（2）∵＝＋＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－。
空间向量运算的坐标表示
重点
空间向量运算的坐标表示；能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题
难点
选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：空间向量的加减和数乘的坐标表示
设，。
（1）；
（2）；
（3）（λ∈R）；
（4）若，则⇔（λ∈R）⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3。
核心知识点二：空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若，，则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
核心知识点三：空间向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）。
（1） ＝（a2－a1，b2－b1，c2－c1）；
（2）dAB＝||＝。
注意：
1. 空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标。
2. 长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关。
类型一：空间向量的坐标运算
例题1 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2），设＝，＝。
求：（1）；（2）；（3）；（4）cos〈，〉。
【解析】因为A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2），所以＝＝（2，1，3），＝＝（2，0，－6）。
（1）＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（2，1，3）＋（4，0，－12）＝（6，1，－9）；
（2）＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）；
（3）＝||2－||2＝（22＋12＋32）－（22＋02＋62）＝－26；
（4）＝
＝。
总结提升：
（1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（2）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外。
（3）空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用。
类型二：坐标形式下平行与垂直的应用
例题2 设＝（1，5，－1），＝（－2，3，5）。
（1）若，求k；
（2）若，求k。
【解析】法一：＝（k－2，5k＋3，－k＋5）。
＝（1＋3×2，5－3×3，－1－3×5）＝（7，－4，－16）。
（1）因为，
所以＝＝，解得k＝－。
（2）因为，所以（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0，解得k＝。
法二：（1）因为，
所以，即。
因为与不共线，所以有解得k＝－。
（2）因为，
所以（k＋）·（－3）＝0，
即k||2－（3k－1）·－3||2＝0。
而||2＝27，||2＝38，·＝8，
所以27k－8（3k－1）－114＝0，
解得k＝。
总结提升：
（1）要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算。
（2）在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件。在条件不明确时，要分类讨论。
类型三：利用坐标运算解决夹角、距离问题
例题3 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点。
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值。
【解析】如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz。
（1）依题意得B（0，1，0），
N（1，0，1），
∴||＝，
∴线段BN的长为。
（2）依题意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），
∴·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3。
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝。
故A1B与B1C所成角的余弦值为。
总结提升：在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求。利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单。
1. 在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况。
2. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法：
3. 若〈，〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cos θ＝|cos α|。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知＝（1，1，0），＝（0，1，1），＝（1，0，1），，，则＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. －2
2. 已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知＝（2，0，3），＝（4，－2，1），＝（－2，x，2），若（－）⊥，则x等于（ ）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
4. 已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O（0，0，0），＋λ与的夹角为120°，则λ的值为（ ）
A. ± B.
C. － D. ±
二、填空题
5. 已知向量＝（0，－1，1），＝（4，1，0），|λ＋|＝，且λ>0，则λ＝________。
6. 已知3－2＝（－2，0，4），＝（－2，1，2），·＝2，||＝4，则cos〈，〉＝________。
三、解答题
7. 已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动（O为坐标原点）。当·取最小值时，求点Q的坐标。
1. 答案：A
解析：∵＝（1，0，－1），
＝（0，3，1），
∴＝1×0＋0×3＋1×（－1）＝－1。
2. 答案：C
解析：＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），
＝（2，－3，1），
∴||＝，
||＝，
||＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2。
∴△ABC为直角三角形。
3. 答案：B
解析：∵－＝（－2，2，2），又（－）⊥，
（－）·＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4。
4. 答案：C
解析：∵＝（1，0，0），＝（0，－1，1），
∴＋＝（1，－λ，λ），
∴（＋λ）＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝，
||＝。
∴cos 120°＝，∴λ2＝。
又<0，∴λ＝－。
5. 答案：3
解析：＝（0，－1，1），＝（4，1，0），
∴λ＋＝（4，1－λ，λ）。
∵|λ＋|＝，∴16＋（1－λ）2＋λ2＝29。
∴λ2－λ－6＝0。∴λ＝3或λ＝－2。
∵λ>0，∴λ＝3。
6. 答案：－
解析：（3－2）·＝（－2，0，4）·（－2，1，2）＝12，
即3·－2·＝12。
由·＝2，得·＝－3。
又∵||＝3，||＝4，
∴cos〈，〉＝－。
7. 解：＝（1，1，2），因为点Q在直线OP上，所以与共线，
故可设＝λ＝（λ，λ，2λ），其中λ为实数，
则Q（λ，λ，2λ），
所以＝（1－λ，2－λ，3－2λ），
＝（2－λ，1－λ，2－2λ），
所以·＝（1－λ）·（2－λ）＋（2－λ）·（1－λ）＋（3－2λ）·（2－2λ）
＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－）2－。
所以当λ＝时，·取最小值。
此时Q点坐标为（，，）。
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