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(人教版)数学中考总复习67中考冲刺:代几综合问题(提高)珍藏版
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中考冲刺:代几综合问题—知识讲解(提高) 【巩固练习】一、 选择题1. 如图,正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )
A. 2 B. 4- C. D.2. 如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为( )
二、填空题3.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(4,10),点C在y轴上,且△ABC
是直角三角形,则满足条件的C点的坐标为______________.4.如图,(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2
的面积为S2,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2=______________;Sn=__________________
(用含的式子表示).
三、解答题5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm,现有两个动点P,Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>0).
(1)连接DP,经过1秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;
(2)连接PQ,在运动过程中,不论t取何值时,总有线段PQ与线段AB平行.为什么?
(3)当t为何值时,△EDQ为直角三角形. 6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(3,4),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒).
(1)求线段AB的长;当t为何值时,MN∥OC?
(2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值?若有最小值,最小值是多少?
7.条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).模型应用:(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是 ;(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值. 8.如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=15,OC=9,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作N点.(1)求N点、M点的坐标;(2)将抛物线y=x2﹣36向右平移a(0<a<10)个单位后,得到抛物线l,l经过点N,求抛物线l的解析式;(3)①抛物线l的对称轴上存在点P,使得P点到M、N两点的距离之差最大,求P点的坐标;②若点D是线段OC上的一个动点(不与O、C重合),过点D作DE∥OA交CN于E,设CD的长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. 9.如图,直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点,tan∠OCB=.(1)求B点的坐标和k的值;(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点.当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;(3)探索:在(2)的条件下:①当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是;②在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形?若存在,请写出满足条件的所有P点的坐标;若不存在,请说明理由. 10.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B(-1,0)、C(3,0),交y轴于点A,将线段OB绕点O顺时针旋转90°,点B的对应点为点M,过点A的直线与x轴交于点D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1.直角梯形EFGH从点D开始,沿射线DA方向匀速运动,运动的速度为1个长度单位/秒,在运动过程中腰FG与直线AD始终重合,设运动时间为t秒.(1)求此抛物线的解析式;(2)当t为何值时,以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形;(3)作点A关于抛物线对称轴的对称点A′,直线HG与对称轴交于点K,当t为何值时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形?请直接写出符合条件的t值. 11.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A. 三、填空题3.【答案】 (0,0),(0,10),(0,2),(0,8)
4.【答案】; ;【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线,垂足为M1、M2、M3,∵△AB1C1是等边三角形,∴AD1=AC1•sin60°=2×=,∵△B1C1B2也是等边三角形,∴C1B1是∠AC1B2的角平分线,∴AD1=B2D1=,故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=;S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=;作AB∥B1C1,使AB=AB1,连接BB1,则B2,B3,…Bn在一条直线上.∵Bn Cn∥AB,∴==,∴BnDn=•AD=,则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=.△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形,因而面积是:.△Bn+1DnCn面积为Sn=•=•=.即第n个图形的面积Sn=.三、解答题5.【答案与解析】解:(1)能,如图1,∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动,点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒,
∴AP=1,BQ=1.25,
∵AC=4,BC=5,点D在BC上,CD=3,
∴PC=AC-AP=4-1=3,QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75,
∵PE∥BC,解得PE=0.75,
∵PE∥BC,PE=QD,
∴四边形EQDP是平行四边形;
(2)如图2,∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动,点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,
∴PC=AC-AP=4-t,QC=BC-BQ=5-1.25t,
∴∴PQ∥AB;(3)分两种情况讨论:
①如图3,当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-t,
又∵EQ∥AC,
∴△EDQ∽△ADC
∴,
∵BC=5,CD=3,
∴BD=2,
∴DQ=1.25t-2,
∴解得t=2.5(秒);
②如图4,当∠QED=90°时,作EM⊥BC于M,CN⊥AD于N,则EM=PC=4-t,
在Rt△ACD中,
∵AC=4,CD=3,
∴AD=,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,
∴△EDQ∽△CDA,
∴ t=3.1(秒).
综上所述,当t=2.5秒或t=3.1秒时,△EDQ为直角三角形. 6.【答案与解析】解:(1)过点B作BD⊥OA于点D,则四边形CODB是矩形,BD=CO=4,OD=CB=3,DA=3
在Rt△ABD中,.
当时,,
,.
∵,,∴,
即(秒).
(2)过点作轴于点,交的延长线于点,
∵,
∴,.
即,.
,
.
,
∴
.
即().
由,得.
当时,S有最小值,且.7.【答案与解析】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC垂直平分BD,∴PB=PD,由题意易得:PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根据勾股定理得,DE=;(2)作A关于OB的对称点A′,连接A′C,交OB于P,PA+PC的最小值即为A′C的长,∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D,则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴;(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN,MN交OA、OB于点Q、R,连接PR、PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,在Rt△MON中,MN===10.即△PQR周长的最小值等于10. 8.【答案与解析】解:(1)∵CN=CB=15,OC=9,∴ON==12,∴N(12,0);又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3,设AM=x∴32+x2=(9﹣x)2,∴x=4,M(15,4);(2)解法一:设抛物线l为y=(x﹣a)2﹣36则(12﹣a)2=36∴a1=6或a2=18(舍去)∴抛物线l:y=(x﹣6)2﹣36解法二:∵x2﹣36=0,∴x1=﹣6,x2=6;∴y=x2﹣36与x轴的交点为(﹣6,0)或(6,0)由题意知,交点(6,0)向右平移6个单位到N点,所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l:y=(x﹣6)2﹣36;(3)①由“三角形任意两边的差小于第三边”知:P点是直线MN与对称轴x=6的交点,设直线MN的解析式为y=kx+b,则 ,解得 ,∴y=x﹣16,∴P(6,﹣8);②∵DE∥OA,∴△CDE∽△CON,∴;∴S=∵a=﹣<0,开口向下,又m=﹣∴S有最大值,且S最大=﹣. 9.【答案与解析】 解: (1)∵y=kx﹣1与y轴相交于点C,∴OC=1;∵tan∠OCB=,∴OB=;∴B点坐标为:;把B点坐标为:代入y=kx﹣1得:k=2;(2)∵S=,y=kx﹣1,∴S=×|2x﹣1|;∴S=|x﹣|;(3)①当S=时,x﹣=,∴x=1,y=2x﹣1=1;∴A点坐标为(1,1)时,△AOB的面积为;②存在.满足条件的所有P点坐标为:P1(1,0),P2(2,0),P3(,0),P4(,0). 10.【答案与解析】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B(﹣1,0)、C(3,0),∴,解得a=﹣1,b=2,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3.(2)在直角梯形EFGH运动的过程中:①四边形MOHE构成矩形的情形,如图1所示:此时边GH落在x轴上时,点G与点D重合.由题意可知,EH,MO均与x轴垂直,且EH=MO=1,则此时四边形MOHE构成矩形.此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度.过点F作FN⊥x轴于点N,则有FN=EH=1,FN∥y轴,∴,即,解得DN=.在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF===,∴t=;②四边形MOHE构成正方形的情形.由图1可知,OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=,即OH≠MO,所以此种情形不存在;③四边形MOHE构成菱形的情形,如图2所示:过点F作FN⊥x轴于点N,交GH于点T,过点H作HR⊥x轴于点R.易知FN∥y轴,RN=EF=FT=1,HR=TN.设HR=x,则FN=FT+TN=FT+HR=1+x;∵FN∥y轴,∴,即,解得DN=(1+x).∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣(1+x)=﹣x.若四边形MOHE构成菱形,则OH=EH=1,在Rt△ORH中,由勾股定理得:OR2+HR2=OH2,即:(﹣x)2+x2=12,解得x=,∴FN=1+x=,DN=(1+x)=.在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF===3.由此可见,四边形MOHE构成菱形的情形存在,此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度,∴t=3.综上所述,当t=s时,四边形MOHE构成矩形;当t=3s时,四边形MOHE构成菱形.(3)当t=s或t=s时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形.简答如下:(注:本题并无要求写出解题过程,以下仅作参考)由题意可知,AA′=2.以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形,则GK∥AA′,且GK=AA′=2.①当直角梯形位于△OAD内部时,如图3所示:过点H作HS⊥y轴于点S,由对称轴为x=1可得KS=1,∴SG=KS+GK=3.由SG∥x轴,得,求得AS=,∴OS=OA﹣AS=,∴FN=FT+TN=FT+OS=,易知DN=FN=,在Rt△FND中,由勾股定理求得DF=;②当直角梯形位于△OAD外部时,如图4所示:设GK与y轴交于点S,则GS=SK=1,AS=,OS=OA+AS=.过点F作FN⊥x轴,交GH于点T,则FN=FT+NT=FT+OS=.在Rt△FGT中,FT=1,则TG=,FG=.由TG∥x轴,∴,解得DF=.由于在以上两种情形中,直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度,则综上所述,当t=s或t=s时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形.11.【答案与解析】解:(1)判断:EN与MF相等 (或EN=MF),点F在直线NE上.(2)成立.证明:连结DE,DF. ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC.又∵D,E,F是三边的中点, ∴DE,DF,EF为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.又∠MDF+∠FDN=60°, ∠NDE+∠FDN=60°, ∴∠MDF=∠NDE. 在△DMF和△DNE中,DF=DE,DM=DN, ∠MDF=∠NDE,∴△DMF≌△DNE. ∴MF=NE. (3)画出图形(连出线段NE), MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).
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