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2021年中考数学压轴题专项训练 圆的综合（含解析）
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这是一份2021年中考数学压轴题专项训练 圆的综合（含解析），共23页。试卷主要包含了如图，某数学活动小组经探究发现等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学压轴题专项训练《圆的综合》
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝8，CE＝3，求CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，即，
∴．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当BD＝2，sinD＝时，求AE的长．
（1）证明：连接OC，如图，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵sinD＝＝，
∴设OC＝3x，OD＝5x，
则5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴OC＝3，OD＝5，
∴AD＝8，
∵sinD＝＝＝，
∴AE＝．
3．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD过O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝＝，
即⊙O的半径是．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC∥AD，
∴∠DAE＝∠COE，
∴cos∠DAE＝cos∠COE＝，BE＝2，
∴＝，
解得：r＝4，
即⊙O的半径为4．
5．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC＝2∠1．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）当∠1＝30°，AB＝4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积．
（1）证明：连结OC，
在圆O中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°
又四边形内角和为360°，
∴∠OCP＝90°，OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线．
∴PA＝PC，
∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1，
∴∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
连结OP，OC，
∵S四边形AOCP＝2××2×2＝4，S扇形AOC＝×π×4＝π，
∴S阴影部分的面积＝4﹣π．
6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求切线BD的长；
（3）求线段BM的长．
（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD过O，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝；
（3）解：连接DM，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DME＝90°，
即∠DMB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBM＝∠DBE，
∴△BMD∽△BDE，
∴，
∴，
解得：BM＝．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AC为⊙O的直径，＝，延长BC到E，使得BE＝AB，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若DE为⊙O的切线，且DE＝2，求的长度．
（1）证明：连接BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵AB＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE；
（2）解：连接OD，
∵＝，
∴AD＝CD，
∵AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B＝∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，O为AC的中点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝90°+45°＝135°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，
∴∠BAD＝67.5°，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝4，
∴OC＝2，
∴的长度是＝．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，，求DE的长．
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，
∵＝，
设AB＝3a，DF＝2a，
∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
9．如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与交于点Q．已知BC＝6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．
小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
4.29
3.33
1.65
1.22
1.50
2.24
y2/cm
0.88
2.84
3.57
4.04
4.17
3.20
0.98
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为 1.3或5.7 cm．（结果保留一位小数）
解：（1）观察图象发现规律可知：
表格数据为：2.44；
（2）如图所示：
即为两个函数y1，y2的图象；
（3）观察图象可知：
两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度，
两个交点的横坐标为1.3和5.7．
故答案为：1.3或5.7．
10．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时PA•PB＝PC•PD
（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由．
（2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC＝，PA＝1时，阴影部分的面积．
解：（1）成立．理由如下：
如图（2），连接AD、BC，
则∠B＝∠D
∵∠P＝∠P
∴△PAD∽△PCB
∴＝
∴PA•PB＝PC•PD；
（2）PC2＝PA•PB
理由如下：
如图（3），连接BC，OC，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠OCB＝∠OBC
∴∠PCA＝∠OBC
∵∠P＝∠P
∴△PCA∽△PBC
∴PC：PB＝PA：PC
∴PC2＝PA•PB．
（3）如图（3），连接OC，
∵PC2＝PA•PB，PC＝，PA＝1
∴PB＝3，AO＝CO＝1
∴PO＝2
∵PC与⊙O相切于点C，
∴△PCO是直角三角形
∴sin∠CPO＝＝
∴∠CPO＝30°，∠COP＝60°
∴△AOC为等边三角形
∴S△AOC＝＝
S扇形AOC＝＝
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．
（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．
①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为 （0，1） ，线段PQ的长为 ；
②若B（2，0），求线段PQ的长；
（2）已知1≤PA≤2，直线l： y＝kx+k+3（k≠0）．
①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 6 ；
②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．
解：（1）①如图可知：C（0，1），
在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，
∴PQ＝，
故答案为（0，1）；；
②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．
∵A（0，2），B（2，0），
∴C（1，1）．
∴M（0，1）．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．
∴CQ＝．
∵P（0，3），M（0，1），
∴PM＝2．
在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．
在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．
（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，
∴Q（t﹣2，t），
∴CQ＝，
当t＝2时，CQ最大，
在Rt△CDQ中，CD＝，CQ最大则DQ最大，
∴Q（2，6），
故答案为6；
②∵﹣1≤x≤1，
Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+4）之间运动，
当Q在（1，2k+4），P（0，4）时，
直线PQ的解析式y＝（2k﹣1）x+4，
点C（1，1）到直线PQ的距离为时，可得k＝0或k＝4，
∴0＜k＜4．
12．已知AB为⊙O的直径．
（1）如图a，点D为的中点，当弦BD＝AC时，求∠A．
（2）如图b，点D为的中点，当AB＝6，点E为BD的中点时，求OE的长．
（3）如图c，点D为上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．
解：（1）如图1，连结OC，
点D为的中点，
∴＝═，
∵弦BD＝AC，
∴＝，
∴═＝，即点C为的中点．
∴＝═
∠A＝∠COB＝××180°＝30°．
（2）如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，
AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90o
点D为的中点，半径OD所在的直线为⊙O的对称轴，
则点A的对应点为C，
∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF＝CF，
在△DEF和△BEC中，
，
∴△DEF≌△BEC （AAS），
∴CE＝EF，BC＝DF，
∵AO＝BO，AF＝CF，
∴OF＝BC＝DF，又AB＝6，
∴OD＝3
∴OF＝1，BC＝DF＝2．
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵点F为AC的中点，点E为FC的中点
∴EF＝，
在Rt△OFE中，EF＝，OF＝1，
∴OE＝＝＝．
（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD﹣AD＝CD，
如图3，连接BC，OC，
∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
过点C作CF⊥CD交BD 于点F，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
又∵AC＝BC，CD＝CF
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，
∵BD＝BF+DF，
∴BD＝AD+CD，
即BD﹣AD＝CD．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
解：（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝5．
∴AP＝AO＝5；
（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线；
解法二：如图2，作CM⊥AB于M，
∵∠BOP＝90°，
∴CM∥OP，
∵OP＝AB，
在Rt△AME中，
∵∠BAC＝30°，可
∴CM＝AC，
∴CM＝AB，
∴CM＝OP，
∴四边形OPCM是矩形，
∴∠CPO＝90°，
∴CP是圆O的切线．
14．如图，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为劣弧的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）连接BC，若BC∥OF，如图2．
①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于 2π ．
（1）证明：如图1，连接CO．
∵C是的中点，
∴∠BOC＝∠FOC．
又∵OF＝OB，
∴OC⊥BF．
∵CG∥FB，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线．
（2）①∵OF∥CB，
∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°．
∴△OBC是等边三角形．
∵CD⊥OB，OC⊥BF，
∴点E是△OBC的重心．
∴CE＝2ED＝CD．
又∵⊙O的半径为，
∴可求得：CD＝OC•sin60°＝2×＝3，DE＝1，
∴CE＝2；
②．
故答案是：2π．
2021年中考数学压轴题专项训练《圆的综合》
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝8，CE＝3，求CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，即，
∴．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当BD＝2，sinD＝时，求AE的长．
（1）证明：连接OC，如图，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵sinD＝＝，
∴设OC＝3x，OD＝5x，
则5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴OC＝3，OD＝5，
∴AD＝8，
∵sinD＝＝＝，
∴AE＝．
3．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD过O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝＝，
即⊙O的半径是．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC∥AD，
∴∠DAE＝∠COE，
∴cos∠DAE＝cos∠COE＝，BE＝2，
∴＝，
解得：r＝4，
即⊙O的半径为4．
5．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC＝2∠1．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）当∠1＝30°，AB＝4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积．
（1）证明：连结OC，
在圆O中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°
又四边形内角和为360°，
∴∠OCP＝90°，OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线．
∴PA＝PC，
∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1，
∴∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
连结OP，OC，
∵S四边形AOCP＝2××2×2＝4，S扇形AOC＝×π×4＝π，
∴S阴影部分的面积＝4﹣π．
6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求切线BD的长；
（3）求线段BM的长．
（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD过O，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝；
（3）解：连接DM，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DME＝90°，
即∠DMB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBM＝∠DBE，
∴△BMD∽△BDE，
∴，
∴，
解得：BM＝．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AC为⊙O的直径，＝，延长BC到E，使得BE＝AB，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若DE为⊙O的切线，且DE＝2，求的长度．
（1）证明：连接BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵AB＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE；
（2）解：连接OD，
∵＝，
∴AD＝CD，
∵AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B＝∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，O为AC的中点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝90°+45°＝135°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，
∴∠BAD＝67.5°，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝4，
∴OC＝2，
∴的长度是＝．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，，求DE的长．
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，
∵＝，
设AB＝3a，DF＝2a，
∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
9．如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与交于点Q．已知BC＝6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．
小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
4.29
3.33
1.65
1.22
1.50
2.24
y2/cm
0.88
2.84
3.57
4.04
4.17
3.20
0.98
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为 1.3或5.7 cm．（结果保留一位小数）
解：（1）观察图象发现规律可知：
表格数据为：2.44；
（2）如图所示：
即为两个函数y1，y2的图象；
（3）观察图象可知：
两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度，
两个交点的横坐标为1.3和5.7．
故答案为：1.3或5.7．
10．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时PA•PB＝PC•PD
（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由．
（2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC＝，PA＝1时，阴影部分的面积．
解：（1）成立．理由如下：
如图（2），连接AD、BC，
则∠B＝∠D
∵∠P＝∠P
∴△PAD∽△PCB
∴＝
∴PA•PB＝PC•PD；
（2）PC2＝PA•PB
理由如下：
如图（3），连接BC，OC，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠OCB＝∠OBC
∴∠PCA＝∠OBC
∵∠P＝∠P
∴△PCA∽△PBC
∴PC：PB＝PA：PC
∴PC2＝PA•PB．
（3）如图（3），连接OC，
∵PC2＝PA•PB，PC＝，PA＝1
∴PB＝3，AO＝CO＝1
∴PO＝2
∵PC与⊙O相切于点C，
∴△PCO是直角三角形
∴sin∠CPO＝＝
∴∠CPO＝30°，∠COP＝60°
∴△AOC为等边三角形
∴S△AOC＝＝
S扇形AOC＝＝
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．
（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．
①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为 （0，1） ，线段PQ的长为 ；
②若B（2，0），求线段PQ的长；
（2）已知1≤PA≤2，直线l： y＝kx+k+3（k≠0）．
①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 6 ；
②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．
解：（1）①如图可知：C（0，1），
在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，
∴PQ＝，
故答案为（0，1）；；
②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．
∵A（0，2），B（2，0），
∴C（1，1）．
∴M（0，1）．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．
∴CQ＝．
∵P（0，3），M（0，1），
∴PM＝2．
在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．
在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．
（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，
∴Q（t﹣2，t），
∴CQ＝，
当t＝2时，CQ最大，
在Rt△CDQ中，CD＝，CQ最大则DQ最大，
∴Q（2，6），
故答案为6；
②∵﹣1≤x≤1，
Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+4）之间运动，
当Q在（1，2k+4），P（0，4）时，
直线PQ的解析式y＝（2k﹣1）x+4，
点C（1，1）到直线PQ的距离为时，可得k＝0或k＝4，
∴0＜k＜4．
12．已知AB为⊙O的直径．
（1）如图a，点D为的中点，当弦BD＝AC时，求∠A．
（2）如图b，点D为的中点，当AB＝6，点E为BD的中点时，求OE的长．
（3）如图c，点D为上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．
解：（1）如图1，连结OC，
点D为的中点，
∴＝═，
∵弦BD＝AC，
∴＝，
∴═＝，即点C为的中点．
∴＝═
∠A＝∠COB＝××180°＝30°．
（2）如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，
AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90o
点D为的中点，半径OD所在的直线为⊙O的对称轴，
则点A的对应点为C，
∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF＝CF，
在△DEF和△BEC中，
，
∴△DEF≌△BEC （AAS），
∴CE＝EF，BC＝DF，
∵AO＝BO，AF＝CF，
∴OF＝BC＝DF，又AB＝6，
∴OD＝3
∴OF＝1，BC＝DF＝2．
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵点F为AC的中点，点E为FC的中点
∴EF＝，
在Rt△OFE中，EF＝，OF＝1，
∴OE＝＝＝．
（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD﹣AD＝CD，
如图3，连接BC，OC，
∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
过点C作CF⊥CD交BD 于点F，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
又∵AC＝BC，CD＝CF
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，
∵BD＝BF+DF，
∴BD＝AD+CD，
即BD﹣AD＝CD．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
解：（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝5．
∴AP＝AO＝5；
（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线；
解法二：如图2，作CM⊥AB于M，
∵∠BOP＝90°，
∴CM∥OP，
∵OP＝AB，
在Rt△AME中，
∵∠BAC＝30°，可
∴CM＝AC，
∴CM＝AB，
∴CM＝OP，
∴四边形OPCM是矩形，
∴∠CPO＝90°，
∴CP是圆O的切线．
14．如图，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为劣弧的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）连接BC，若BC∥OF，如图2．
①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于 2π ．
（1）证明：如图1，连接CO．
∵C是的中点，
∴∠BOC＝∠FOC．
又∵OF＝OB，
∴OC⊥BF．
∵CG∥FB，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线．
（2）①∵OF∥CB，
∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°．
∴△OBC是等边三角形．
∵CD⊥OB，OC⊥BF，
∴点E是△OBC的重心．
∴CE＝2ED＝CD．
又∵⊙O的半径为，
∴可求得：CD＝OC•sin60°＝2×＝3，DE＝1，
∴CE＝2；
②．
故答案是：2π．
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