2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》四(含答案)

这是一份2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》四(含答案)，共10页。试卷主要包含了求角C的大小；等内容，欢迎下载使用。

《三角函数与解三角形》四


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足eq \f(acsB＋bcsA,c)=2csC.


(1) 求角C的大小；


(2) 若△ABC的面积为2eq \r(3)，a＋b=6，求边c的长．












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cs(A－B)=2sinAsinB．


(1)判断△ABC的形状；


(2)若a=3，c=6，CD为角C的平分线，求CD的长．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知△ABC中，为角所对的边，且.


（Ⅰ）求的值；


（Ⅱ）若的面积为，并且边上的中线的长为，求的长.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且a+c=2．


（1）求角B；


（2）求边长b的最小值．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．


(1) 若围墙AP，AQ的总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？


(2) 已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足.


（1）求角A的值；


（2）若且b≥a，求的取值范围.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.


(Ⅰ)求B；


(Ⅱ)若，求sinC的值.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，a2+c2=b2+ac．


（1）求∠B 的大小；


（2）求csA+csC的最大值．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2=c(a－c)＋b2．


(1)求角B的大小；


(2)设m=2a－c，若b=eq \r(3)，求m的取值范围．





















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=m·n，其中向量m=(sin ωx＋cs ωx，eq \r(3)cs ωx)，n=(cs ωx－sin ωx，2sin ωx)，ω＞0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π.


(1)求ω的取值范围；


(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=eq \r(3)，当ω最大时，f(A)=1，求△ABC的面积的最大值．






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角.


(1)证明：B－A=eq \f(π,2)；


(2)求sinA＋sinC的取值范围.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且


（Ⅰ）求A的大小；


（Ⅱ）求的最大值.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C=(2b－eq \r(3)c)cs A.


(1)求角A的大小；


(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，角所对的边分别为.设向量，


（I）若，求角；


（Ⅱ）若，，，求边的大小.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2﹣sinB•sinC=．


（1）求A；


（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1) 解法1 在△ABC中，由余弦定理，得


acsB＋bcsA=eq \f(a2＋c2－b2,2c)＋eq \f(b2＋c2－a2,2c)=c，所以csC=eq \f(1,2).


解法2 在△ABC中，由正弦定理，得


eq \f(acsB＋bcsA,c)=eq \f(sinAcsB＋sinBcsA,sinC)=eq \f(sinA＋B,sinC)=eq \f(sinπ－C,sinC)=1，所以csC=eq \f(1,2).


因为C∈(0，π)，所以C=eq \f(π,3)


(2) 由(1)知，S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(\r(3),4)ab=2eq \r(3)，所以ab=8.


由余弦定理，得c2=a2＋b2－ab=(a＋b)2－3ab=36－24=12.


因为c>0，所以c=2eq \r(3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由cs(A－B)=2sinAsinB，得csAcsB＋sinAsinB=2sinAsinB，


∴csAcsB－sinAsinB=0，∴cs(A＋B)=0，∴C=90°．


故△ABC为直角三角形．


(2)由(1)知C=90°，又a=3，c=6，∴b=eq \r(c2－a2)=3eq \r(3)，A=30°，


∠ADC=180°－30°－45°=105°．


由正弦定理得eq \f(CD,sinA)=eq \f(AC,sin∠ADC)，∴CD=eq \f(3\r(3),sin105°)×sin30°=eq \f(3\r(3),\f(\r(6)＋\r(2),4))×eq \f(1,2)=eq \f(9\r(2)－3\r(6),2)．








LISTNUM OutlineDefault \l 3





LISTNUM OutlineDefault \l 3





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1) 设AP=x m，AQ=y m，则x＋y=200，x>0，y>0.


△APQ的面积S=eq \f(1,2)xysin120°=eq \f(\r(,3),4)xy.


因为xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2=10 000，当且仅当x=y=100时取等号．


所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大．


(2) 由题意得100×(1·x＋1.5·y)=20 000，即x＋1.5y=200


在△APQ中，PQ2=x2＋y2－2xycs120°=x2＋y2＋xy.


即PQ2=(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y=eq \f(7,4)y2－400y＋40 000，其中0

当y=eq \f(800,7)，x=eq \f(200,7)时，PQ2取最小值，从而PQ也取最小值．


所以当AP=eq \f(200,7) m，AQ=eq \f(800,7) m时，可使竹篱笆用料最省．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：








LISTNUM OutlineDefault \l 3 （Ⅰ）（Ⅱ）





























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LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)因为a2=c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2=ac，


所以csB=eq \f(a2＋c2－b2,2ac)=eq \f(1,2)．


又因为0

(2)由正弦定理得eq \f(a,sinA)=eq \f(c,sinC)=eq \f(b,sinB)=eq \f(\r(3),sin\f(π,3))=2，


所以a=2sinA，c=2sinC．


所以m=2a－c=4sinA－2sinC


=4sinA－2sineq \f(2π,3)－A


=4sinA－2×eq \f(\r(3),2)csA＋eq \f(1,2)sinA


=3sinA－eq \r(3)csA


=2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)sinA－eq \f(1,2)csA


=2eq \r(3)sinA－eq \f(π,6)．


因为A，C都为锐角，则0

所以0







LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题意知f(x)=m·n=cs2 ωx－sin2 ωx＋eq \r(3)sin 2ωx


=cs 2ωx＋eq \r(3)sin 2ωx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6))).


∵eq \f(T,2)=eq \f(1,2)·eq \f(2π,2ω)=eq \f(π,2ω)≥π，ω＞0，∴0＜ω≤eq \f(1,2).


(2)由(1)知ωmax=eq \f(1,2)，f(A)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))=1，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))=eq \f(1,2).


又0＜A＜π，∴eq \f(π,6)＜A＋eq \f(π,6)＜eq \f(7π,6)，∴A＋eq \f(π,6)=eq \f(5π,6)，得A=eq \f(2π,3).


又由余弦定理得a2=3=b2＋c2－2bc×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))≥3bc，即bc≤1.


∴S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A≤eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3),4).


∴△ABC的面积的最大值为eq \f(\r(3),4).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)证明：由a=btanA及正弦定理，得eq \f(sinA,csA)=eq \f(a,b)=eq \f(sinA,sinB)，


所以sinB=csA，即sinB=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A)).


又B为钝角，因此eq \f(π,2)＋A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故B=eq \f(π,2)＋A，即B－A=eq \f(π,2).


(2)由(1)知，C=π－(A＋B)=π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,2)))=eq \f(π,2)－2A＞0，所以A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).


于是sinA＋sinC=sinA＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2A))


=sinA＋cs2A=－2sin2A＋sinA＋1=－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8).


因为0＜A＜eq \f(π,4)，所以0＜sinA＜eq \f(\r(2),2)，因此eq \f(\r(2),2)＜－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinA－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)≤eq \f(9,8).


由此可知sinA＋sinC的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(9,8))).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 120


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由正弦定理可得，eq \r(3)sin Acs C=2sin Bcs A－eq \r(3)sin Ccs A，


从而可得 eq \r(3)sin(A＋C)=2sin Bcs A，


即eq \r(3)sin B=2sin Bcs A.


又B为三角形的内角，


所以sin B≠0，于是cs A=eq \f(\r(3),2)，


又A为三角形的内角，所以A=eq \f(π,6).


(2)由余弦定理可得，a2=b2＋c2－2bccs A得4=b2＋c2－2bc·eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，


所以bc≤4(2＋eq \r(3))．


所以S=eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3).


故当a=2时，△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).








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