1.1.2 力的合成与分解

这是一份1.1.2 力的合成与分解，共6页。

1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则


即力的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即的合力。（如图F1


F2


F


F1


F2


F


(b)


图1-2-1


1-2-1(b)）


如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即力矢的起步与力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。


力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：


①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。


F1


F2


F3


F4


F1


F2


F3


F4


∑F


F1


F2


F3


F4


F5


(a) (b) (c)


图1-2-2


②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。


③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。


1．2．2、平面共点力系合成的解析法


如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde，并在该平面取直角坐标系Oxy，作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见：





x


y


a


b


c


d


e


O


Rx


F1y


F4y


F3y


F2y


F1x


F2x


F3x


F4x


Fy


F1


F2


F3


F4


Ry


x


y


O


Rx


R





图1-2-3


(a)


(b)


上式说明，合力在任意一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这也称为合力投影定理。知道了合力R的两个投影和，就不难求出合力的大小与方向了。合力R的大小为：





合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定：





1．2．3、平行力的合成与分解


作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。


R


O


A


B


F2


F1


A


B


O


F1


F2


R


(b)


图1-2-4


两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图1-2-4(a)，有：





两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：








Y


α


γ


β


j


k


i


z


Y


X


Z


X


图1-2-5


1．2．4、空间中力的投影与分解


力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的力在x、y、z轴上的投影X、Y、Z分别定义为





这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时


Z


X


Y


F


Fxy


O


图1-2-6





式中为在xy平面上的投影矢量，而





力沿直角坐标轴的分解式





§1.3共点力作用下物体的平衡


1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件


几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。


物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。


共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。





或其分量式：





F1


F2


F3











图1-3-1


如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：





1．3．2、推论


物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。


特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。


§1.4 固定转动轴物体的平衡


1．4．1、力矩


F


O


d


图1-4-1


力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)。


力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-4-1，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。


力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。


通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。


1．4．2、力偶和力偶矩


F1


F2


O








图1-4-2


一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图1-4-2中即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。


1．4．3、有固定转动轴物体的平衡


有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。