1.1.5 一般物体的平衡

这是一份1.1.5 一般物体的平衡，共8页。

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为











分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。


由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。


如平面力系（设在平面内），则自动满足，则独立的平衡方程为：











这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。


平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。


§1.6 平衡的稳定性


1．6．1、重心


物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。


A


O


C


P


B


X














G1


G2


G3


图1-6-1


R


求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L，质量分别为的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与相距分别为：











均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。


物体重心（或质心）位置的求法


我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为的两均匀圆球和重量为的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为，系统重心在P点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力R，令达到平衡时有：





∴


这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为：





一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：





P


图1-6-2





如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？


解：设整个棒重心离最左端距离为x，则由求质心公式有











若为n段，按上式递推得：





将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：

















A


B


C














图1-6-3


例、如图1-6-3所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为的小球，均质杆重量为，长度，试求系统的重心位置。


解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行力系；其中


。设重心位置为O，则合力





且即





OC=0.53R


1．6．2、物体平衡的种类


物体的平衡分为三类：


稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。


不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。


随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。


在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。


1．6．3、稳度


物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。


§1.7 流体静力学


流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流体具有不可压缩的特征。


1．7．1、 静止流体中的压强


(1)静止流体内部压强的特点


O





























图1-7-1


在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。


关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下：


在静止流体中的某点处任取一个长为的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x沿水平方向，坐标轴y沿竖直方向，以分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且以表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以,分别表示对应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：











由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：





即


注意到，代入上式便得





说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。


(2)静止流体内部压强的大小


若静止流体表面处的压强为P。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的密度为，则此流体表面下深度为h处的压强为





由上式可见，在静止流体内部高度差为的两点间的压强差为





1．7．2、浮力与浮心


浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示为





浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸没在液体中的物体部分的重心重合。


1．7．3、浮体平衡的稳定性


F


Q


G


O


F


Q


G


O





（b）


图1-7-2


浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的；对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。


浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心O的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心（浮力作用点）Q将向右偏离，浮力F与重力G构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图1-7-2(a)所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心O太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳的，如图1-7-2(b)所示。