1.4.7 功能原理和机械能守恒定律

§4．7 功能原理和机械能守恒定律

4．7．1 功能原理

根据质点系动能定理

当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为

而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即

于是得到

用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到

  外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。

  功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题：

  劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块（图4-7-1）开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为。然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。（1）要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？

    题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”，并未指明确切的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚，因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动，还需要克服一个向左的静摩擦力，所以只要F≥2，即可保证在任何情况下都能拉动木块。

    设物体的初始位置为，在向右的恒力F作用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有

可得

因为木块一开始静止，所以要求        

≤≤

可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是

    ≤≤

4．7．2 机械能守恒定律

    若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。

  注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。

下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程

理想流体  不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。

定常流动   观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看做定常流动。

  流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。

伯努利方程   现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。

图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。

  处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。

   处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。

     经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，，记为。

    现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。

作用在液体左端的力，所做的功

。

作用在右端的力，所做的功

。

外力所做的总功

        （1）

  外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

  由于，所以流入的那部分流体的动能为   

重力势能为

流出流体的动能为  

重力势能为

机械能的改变为

     （2）

  理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变

，即 W=                    （3）

将（1）式和（2）式代入（3）式，得

整理后得

   （4）

和是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：

                常量       （5）

（4）式和（5）式称为伯努利方程。

  流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为

常量                   （6）

  从（6）式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。

知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时（图4-7-4）如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。

伯努利方程的应用：

 球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。

  例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。

设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有       ①

取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为

        ② 

撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能为

      ③ 

A在x处时，其受力满足

 ，

以①式的代入上式，乃有

                            ④

当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有

要B对地无压力，即N=0，则上式变为

                           ⑤

因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即

=                      ⑥

联立解②~⑥式，可得

。

  显然，要出现B对地无压力的情况，应为≥（。当F=（时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F＞（时，B将出现离开地面向上跳起的情况。