1.4.1 动量与冲量 动量定理

第四讲  动量 角动量和能量

§4.1  动量与冲量  动量定理

 4．1． 1．动量

在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv来量度物体的“运动量”，称之为动量。

  4．1．2．冲量

要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F叫做冲量。

  4．1．3．质点动量定理

由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：

  即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。

  在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：

  对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理：

  第1个          外+内=

  第2个          外+内=

  第n个          外+内=

  由牛顿第三定律：   内+内+……+内=0

因此得到：

外+外+ ……+外=（++……+）-（++……）

  即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

§4，2  角动量   角动量守恒定律

动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。

它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为

  （）

  以下介绍两个定理：

（1）.角动量定理：

质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即 

         （为力矩）。

（2）．角动量守恒定律  

如果质点不受外力作用，或虽受外力作用，但诸外力对某点的合力矩为零，则对该点来讲，质点的动量矩J为一恒矢量，这个关系叫做角动量守恒定律  即   r×F=0，则J=r×mv=r×P=恒矢量

§4.3动量守恒定律

    动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义，

    对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。

即：          ++……+=……

上式就是动量守恒定律的数学表达式。

应用动量守恒定律应注意以下几点：

（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样可把矢量运算转化为代数运算，

（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量恒定不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化，系统的内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时，系统的总动量就要发生改变，但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。

（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当作合外力为零进行处理，动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。

    （4）动量守恒定律是由牛顿定律导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。

  动量守恒定律的推广   由于一个质点系在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态，这个讨论包含了三层含意：

（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。

（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。

（3）如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。

  如果一个质量为的半圆形槽A原来静止在水平面上，原槽半径为R。将一个质量为的滑块B由静止释放（图4-3-1），若不计一切摩擦，问A的最大位移为多少？

  由于A做的是较复杂的变加速运动，因此很难用牛顿定律来解。由水平方向动量守恒和机械能守恒，可知B一定能到达槽A右边的最高端，而且这一瞬间A、B相对静止。因为A、B组成的体系原来在水平方向的动量为零，所以它的质心位置应该不变，初始状态A、B的质心距离圆槽最低点的水平距离为：

。

所以B滑到槽A的右边最高端时，A的位移为（图4-3-2）      

如果原来A、B一起以速度向右运动，用胶水将B粘在槽A左上端，某一时刻胶水突然失效，B开始滑落，仍然忽略一切摩擦。设从B脱落到B再次与A相对静止的时间是，那么这段时间内A运动了多少距离？

  B脱落后，A将开始做变加速运动，但A、B两物体的质心仍然以速度向右运动。所以在时间内A运动的距离为：