2.2.4 电路化简

§2. 4、电路化简

2．4．1、   等效电源定理

实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻r的串联，如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。

不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为

 其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。

实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。

等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。

如图2-4-3所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。

等效电流源定理   又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。

例4、如图2-4-5所示的电路中，

   （1）试用等效电压源定理计算从电源正极流出的电流；（2）试用等效电流源定理计算从结点B流向节点A的电流。

分析： 根据题意，在求通过电源的电流时，可将ABCDE部分电路等效为一个电压源，求解通过的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。

解： （1）设ABCDE等效电压源电动势，内阻，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有

电源与电源串联，故

＜0，表明电流从负极流出。

（2）将A、B两个节点短接，构成等效电流源（）如图2-4-7所示，由等效电流源定理，为原电路流经A、B短接后的支路电流。因为有两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。

由叠加原理    

由和的分流关系

2．4．2、   Y—△变换

在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图2-4-8所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与△型联接的三个端纽相同。

在Y型电路中有

可解得

在△型电路中

等效即满足：

即                             ①

                               ②

类似方法可得                   ③

①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换。

同样将△型电路变换到Y型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥

            ④

            ⑤

            ⑥

例5、试求如图2-4-9所示电路中的电流。

分析：  这是包含一个Y型电路和一个△型电路的网络，解决问题的方向可将左边Y型网络元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成Y型网络元。

解：  将左侧Y型网络换成△型，如图2-4-10

所示已知 

则有  

由图2-4-10，可进一步电路整理为图2-4-11所示。

将右侧△型网络元换成Y型网络元同样可求得，这里不再叙述。

2．4．3、   对称性原理

①等势节点的断接法

在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

例6、用导线连接成如图2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。

解： 设想A、B两点上存在电势差，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎与的中间，即，所以两点应是等电势的。这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A—D—B，A—C—B，和AB。于是：

②电流分布法

设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。

例7、10根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。

由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14所示。对图中C点和D点，有电流关联

解得                                             ①

由A、E两点间不同路线等电压的要求，得

即                                                ②

解①、②两式得

选择线路AEDB，可得

因此，A、B间等效电阻便为

2．4．4、  无穷网络等效变换法

若     （a＞0）

在求x值时，x注意到是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

例8、如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？

从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是这样的，，因此

解此方程得到

2．4．5、  电流叠加法

解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。

例9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图2-4-17所示。所有六边形每边的电阻为，求：

（1）结点a、b间的电阻。

（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。

解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。

将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知

（由a流向c）

（由c流向b）

因此，a、b两点间等效电阻

（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

应该有                

因为b、d两点关于a点对称，所以

同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

最后，根据电流的叠加原理可知

以上几种方法可实现电路的化简。其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导体和等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻值，最后只需将R换成即可。

例10、十个电容为C的电容器按图2-4-17个方式连接，求AB间等效电容。

解：  将电容全部换成阻值为r的电阻，由“电容分布法”中的例题可知   

用代替R，则