5.4.3 相对论知识与例题、习题

这是一份5.4.3 相对论知识与例题、习题，共25页。教案主要包含了牛顿时空观与力学相对性原理，经典力学的困难，相对论的两个基本假设，时间膨胀和长度收缩，洛仑兹变换与速度变换，相对论的动量与能量等内容，欢迎下载使用。

爱因斯坦狭义相对论
一、牛顿时空观与力学相对性原理
牛顿力学的基础是牛顿时空观。这种时空观的本质是把时间和空间看成与物质及其运动无关的独立存在。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写道：“绝对的、真正的和数学的时间……由于其本性而在均匀地，与任何其它外界事物无关地流逝着”，“绝对的空间，就其本性而言，是与外界任何事物无关而永远是相同的和不动的”。牛顿声称自己所研究的运动就是在“绝对空间”和“绝对时间”中进行的“绝对运动”。只有以绝对时间和绝对空间作为量度运动的参照系，或者以其他做绝对运动的物体（系统）为参照系，惯性定律才成立。这样的参照系就是惯性系。
在经典力学中联系两个惯性系S和S′(只在X方向有相对速度μ)之间的坐标变换是伽利略变换：
X′＝X－μt
Y′＝Y　　　　　或
Z′＝Z
t′＝t
X＝X′+μt
Y＝Y′
Z＝Z′
t＝t′





在这种变换下，物体的长度、两事件之间的时间间隔是绝对的，即相对不同参照系其数值是不变的。因而同时性也是绝对的，即在某一参照系不同地点同时发生的两个事件，相对于另一参照系也是同时发生的。时间间隔和同时性的绝对性，从伽利略变换看是不言而喻的。为说明物体长度的绝对性，我们来看一把沿X轴旋转的尺的长度的量度。设尺静止在S′上，在该系中其长度：L′＝X2′－X1′
相对S系，尺在运动，由伽利略变换，尺和长度满足：
L＝X2－X1＝（X2′－μt1）－（X1′－μt2）＝X2′－X1′＝L′
在伽利略变换下，物体的位置和速度则是相对的。例如，沿X方向的运动速度之间满足相加法则：V′＝V－μ　或　V＝V′＋μ
而物体的加速度相对不同惯性系又是不同的，即：a′＝a
两物体的相对位置和相对速度也不因惯性系不同而改变，而力通常是两物体相对位置和相对速度的函数，质量在牛顿力学中被认为是与运动无关的恒量，于是牛顿运动定律的形式在不同惯性系下保持不变。这就是力学相对性原理。
在以伽利略相对性原理为基础的经典力学中，我们要得到了这样的结论：时间和空间是绝对的、相互分离的；物体的大小与惯性参考系无关；时间的流逝不因惯性运动而改变；不同地点的同时性是绝对不变的。
二、经典力学的困难
（1）速度合成律中的问题
伽利略相对性原理和他的坐标变换的重要的结论是速度的合成律。例如，一个人以速度u相对于自己掷球，而他自己又以速度V相对于地面跑动，则球出手时相对于地面的速度为v＝u＋V.按常识，这算法是天经地义的。但是把这种算法运用到光的传播问题上，就产生了矛盾。请看下面的例子。
设想两个人玩排球，甲击球给乙。乙看到球，是因为球发出的（实际上是反射的）光到达了乙的眼睛。设甲乙两人之间的距离为l，球发出的光相对于它的传播速度是c，在甲即将击球之前，球暂时处于静止状态，球发出的光相对于地面的传播速度就是c，乙看到此情景的时刻比实际时刻晚△t＝l/c。在极短冲击力作用下，球出手时速度达到V，按上述经典的合成律，此刻由球发出的光相对于地面的速度为C+V，乙看到球出手的时刻比它实际时刻晚△t′＝l/（c+V）.显然△t′＜Δt，这就是说，乙先看到球出手，后看到甲即将击球！这种先后颠倒的现象谁也没有看到过。
会有人说，由于光速非常大，Δt和Δt′的差别实在微乎其微，在日常生活中是观察不到的，这个例子没有什么现实意义。那么我们就来看另一个天文上的例子。
1731年英国一位天文学爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座上发现了一团云雾状的东西。外形象个螃蟹，人们称它为“蟹状星云”（见图8－1）。后来的观测表明，这只“螃蟹”在膨胀，膨胀的速率为每年0.21″.到1920年，它的半径达到180″.推算起来，其膨胀开始的时刻应在（180″÷0.21″）年=860年之前，即公元1060年左右。人们相信，蟹状星云到现在是900多年前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。这一点在我国的史籍里得到了证实。《宋会要》是这样记载的（见图8－2）：“嘉佑元年三月，司天监言，客星没，客去之兆也。初，至和元年五月晨出东方，守天关。昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日”。这段话的大意如下：负责观测天象的官员（司天监）说，超新星（客星）最初出现于公元1054年（北宋至和元年），位置在金牛座ζ星（天关）附近，白昼看起来赛过金星（太白），历时23天。往后慢慢暗下来，直到1056年（嘉佑元年）这位“客人”才隐没。当一颗恒星发生超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散。也就是说，有些抛射物向着我们运动（如图8－3中的A点），有些抛射物则沿横方向运动（如图8－3中的B点）。如果光线服从上述经典速度合成律的话，按照类似前面对排球运动的分析即可知道，A点和B点向我们发出的光线传播速度分别为c+V和c，它们到达地球所需的时间分别为t′=l/（c+V）和t=l/C，沿其它方向运动的抛射物所发的光到达地球所需的时间介于这二者之间。蟹状星云到地球的距离l大约是5千光年，而爆发中抛射物的速度V大约是1500km，用这些数据来计算，t′比t短25年。亦即，我们会在25年内持续地看到超新星开始爆发时所发出的强光。而史书明明记载着，客星从出现到隐没还不到两年，这怎么解释？


（2）以太风实验的零结果
大海中轮船激起波浪的传播速度只与洋流的速度有关，而与轮船的航速无关。这给上述问题提供了另一种可能的解释，即超新星发出的光，其传播速度与爆发物的速度无关，只与传播介质的运动状态有关。于是上述矛盾不复存在。不过，一个新的问题又产生了，那个传播光线的“海洋”是什么？按照旧时的看法，是一种叫做“以太（aether）”的物质。海浪的传播速度固然与波源的运动无关，但相对于观察者的传播速度却与波源相对于海洋的速度有关。在我们所讨论的问题里，在茫茫以太的海洋中漂泊的观察者乘坐的航船是地球，地球以怎样的速度在以太的海洋里航行？也许更准确的说法应该把以太比喻做无处不在的大气，在其中飞行的地球上应感到迎面吹来的以太风。在以太风的参考系中光沿各个方向的传播速率皆为c，设地球在以太风中的速率为v，则按伽利略的速度合成律，对地球参考系来说，光的传播速度应为c－v，于是沿前后两个方向光的传播速率分别为c－v和c＋v，沿左右两个方向光的传播速率则为。如果有以太风存在，精密的光学实验是可以把这种差别测量出来的。1881年迈克耳孙（A.A.Michelson）用他自己著名的干涉仪做了这类实验，没有观察到以太漂移的结果。1887年他与莫雷（E.W.Morley）以更高的精度重新做了这类实验，仍得到零结果，即测不到想象中的“以太风”对光速产生的任何影响。
（3）电磁现象不服从伽利略相对性原理
按照伽利略的描述，在一艘封闭的大船内，只要船保持匀速匀速直线运动，你就在这条封闭的大船里观察不到任何能判断船是否行进的的现象。要知道，我们的地球就是一条在“以太”中行进的封闭大船。但是伽利略提到的都是力学现象，若涉及电磁现象，情况就不一样了。设想在一刚性短棒两端有一对异号点电荷±q，与船行进的方向成倾角θ放置。在船静止时，两电荷间只有静电吸引力fE和fE′，它们沿二者的联线，对短棒不形成力矩。如果大船以速度v匀速前进，正、负电荷的运动分别在对方所在处形成磁场B和B′，方向如图8－5b所示，垂直于纸面向里，使对方受到一个磁力（洛伦兹力）fM和fM′，方向如图所示。这一对磁力对短棒形成力矩，使之逆时针转动。这样一来，我们不就能够判断大船是否在行进了吗？1902到1903年间特鲁顿（F.T.Trouton）和诺贝尔（M.R.Noble）做了这类实验以检验地球是否与以太有相对运动，获得的也是零结果。这就是说，用电磁理论与经典力学来分析，伽利略相对性原理本应对电磁现象失效，但实验表明，利用电磁现象仍无法知道，我们这条在以太中的萨尔维阿蒂大船是否在漂移。
（4）质量随速度增加
按照牛顿力学，物体的质量是常量。但1901年考夫曼（W.Kaufmann）在确定镭C发出的β射线（高速运动的电子束）荷质比e/m的实验中首先观察到，电子的荷质比e/m与速度有关。他假设电子的电荷e不随速度而改变，则它的质量m就要随速度的增加而增大。这类实验后来为更多人用愈来愈精密的测量不断地重复着。
三、相对论的两个基本假设
爱因斯坦说：“相对论的兴起是由于实际需要，是由于旧理论中的矛盾非常严重和深刻，而看来旧理论对这些矛盾已经没法避免了。新理论的好处在于它解决这些困难时，很一致，很简单，只应用了很少几个令人信服的假定。”当别人忙着在经典物理的框架内用形形色色的理论来修补“以太风”的学说时，爱因斯坦另辟蹊径，提出两个重要假设来：
第一个：所有惯性参照系中的物理规律是相同的。物体的位移、速度以及电场强度、磁感应强度等物理量有可能因为所选择参考系的不同而不同，但是它们所遵从的物理规律却是同样的。也就是说，在一切惯性系中物理定律的数学形式完全相同。
第二个：真空中的光速相对任何观察者来说都是相同的。光速与光源、观测者间的相对运动没有关系。
爱因斯坦提出这个假设是非常大胆的。下面我们即将看到，这个假设非同小可，一系列违反“常识”的结论就此产生了。
3.1同时性的相对性
何谓两地的事件同时发生？譬如说，来自银河中心的引力波信号“同时”激发设在北京和广州的引力波探测天线，我们怎样知道引力波是“同时”到达两地的呢？也许有人说，这还不简单，两地的人都看看钟就行了。于是，问题就化为如何把两地的钟对准的问题。按现代的技术水平，这将通过电台发射无线电报时讯号来实现。但电磁波是以光速传播的，报时讯号从北京传到广州需要时间。这段时间差按日常生活的标准来看当然是微不足道的，然而对于同样以光速传播的引力波来说，这段时间内它已飞越了2000多公里。对于精密的科学测量来说，对钟的时候这段时间差是要经过严格校准的。
爱因斯坦根据他提出的光速不变原理，提出一个异地对钟的准则。假定我们要对A、B两地的钟，则在AB联线的中点C处设一光讯号发射（或接收）站。当C点接收到从A、B发来的对时光讯号符合时，我们就断定A、B两钟对准了。当然也可以由C向A、B两地发射对钟的光讯号，A、B收到此讯号的时刻被认定是“同时”的。
以上的“同时性”判断准则适用于一切惯性系，于是就产生了这样的问题：同一对事件，在某个惯性参考系里看是同时的，是否在其它惯性参考系里看也同时？“常识”和经典物理学告诉我们，这是毋庸置疑的。但有了爱因斯坦的光速不变原理，这结论将不成立。为了说明这一点，爱因斯坦提出了一个理想实验。设想有一列火车相对于站台以匀速V向右运动，如图8－6所示。当列车的首、尾两点A′、B′与站台上的A、B两点重合时，站台上同时在这两点发出闪光；所谓“同时”，就是两闪光同时传到站台的中点C.但对于列车来说，由于它向右行驶，车上的中点C′先接到来自车头A′（即站台上的A）点的闪光，后接到来自车尾B′（即站台上的B）点的闪光。于是，对于列车上的观察者C′来说，A的闪光早于B，而对于站台上的C来说，则同时接到A的闪光和B的闪光。这就是说，对于站台参考系为同时的事件，对列车参考系不是同时的，事件的同时性因参考系的选择而异，这就是同时性的相对性。

为了把问题描绘得更尖锐一点，我们不妨将上述理想实验发展一下，进一步假设，在站台上A、B两点同时发出闪光的那一刹那，另有一列相同的火车以速度－V向左行驶，且其车头B″和车尾A″恰好分别与站台上的B、A重合（见图8－7）。用同样的分析可知，这列车的中点C″先接到来自车头B″（即站台上的B）点的闪光，后接到来自车尾A″（即站台上的A）点的闪光。于是，对于这列车上的观察者C″来说，A的闪光迟于B.如果发自站台上A、B点的闪光不是一般的光讯号，而是两个人相对开枪射击发出的火光，在谁先开枪的问题上，目击者C′和C″在法庭上将提供相反的证词。这不成了“公说公有理，婆说婆有理”，没有统一的是非标准了吗？以后我们会看到（4.1节），问题没有那么严重，因为无论哪个参考系中的观察者都不会得出这样的结论：A、B之中的某人是在看到对方开枪的火光之后才开枪的。亦即，事件之间的因果关系不会混淆！

3.2长度的相对性
上面我们谈的是时间的相对性问题，除此之外，光速不变原理还会带来空间长度的相对性问题。那就是说，同一物体的长度，在不同的参考系内测量，会得到不同的结果。通常，在某个参考系内，一个静止物体的长度可以由一个静止的观测者用尺去量；但要测量一个运动物体的长度就不能用这样的办法了。让物体停下来量吗？不行，因为这样量得的是静止物体的长度；追上去量吗？也不行，因为这样量出来的是在与物体一起运动的那个参考系中物体的长度，仍旧是该物体静止时的长度。合理的办法是：记下物体两端的“同时”位置，如图8－6中站台上的A、B，然后去量它们之间的距离，就是运动着的火车的长度。如前所述，A、B两点只对于站台参考系来说是同时的，对列车参考系来说，A′与A重合在先，B′与B重合在后，所以列车上的观察者认为，长度AB小于列车在K′系中的长度A′B′。
这便是长度相对性的由来。
再把问题描绘得尖锐些，假定从A到B刚好是一段隧道，在地面参考系中看，隧道与列车等长；然而在列车参考系中看，列车比隧道长。若有人问：这两个说法同样真实吗？如果当列车刚好完全处在隧道以内时，在隧道的出口A和入口B处同时打下两个雷，躲在隧道里的列车安然无恙吗？如果说列车能够免于雷击，则“列车比隧道长”的说法，岂非不真实吗？要正确地理解这个问题，即“长度的相对性”问题，关键仍旧是那个“同时的相对性”。你说“同时打下两个雷”，对谁同时？当然应该是对地面参考系同时。那么，从任何参考系观测，列车都可幸免于雷击。
从地面参考系观测固然没有问题，从列车参考系观测：出口A处的雷在先，这时车头尚未出洞，车尾虽拖在洞外，而那里的雷尚未到来（图8－8a）；入口B处的雷在后，这时车尾已缩进洞内，车头虽已探出洞外，而那里的雷已打过（图8－8b）。结论依然是：列车无恙。
 
可见，由长度相对性引起表面相互矛盾的说法，只不过是同一客观事物的不同反映和不同描述而已。以后我们把与物体相对静止的参考系中测出的长度叫做物体的长度，以区别于它运动时的长度。
应当指出，长度的相对性只发生在平行于运动的方向上，在垂直于运动的方向上没有这个问题。为了说明这一点，看图8－9中的例子。为了测量列车的高度A′D′，地面观测者可用一竖立的杆在车厢经过时同时记下A′D′两点在杆上的位置A、D，AD即为车高。按照以前所述的对钟办法，若从A、D两点发出的光讯号同时到达其中点C的话，它们也会同时到达A′、D′的中点C′。亦即，在地面参考系K中校准了放在A、D两点的钟，在列车参考系K′观测也是同步的，从而车上的观测者认为A、A′和D、D′是同时对齐的。于是，A′D′=AD，即在两参考系内测量的横向的长度是一样的。

四、时间膨胀和长度收缩
4.1时间的膨胀
前面我们只对时空相对性作了定性的讨论，下面推导一些定量化的公式。
看另外一个理想实验。假定列车（K′系）以匀速V相对于路基行驶，车厢里一边装有光源，紧挨着它有一标准钟。正对面放置一面反射镜M，可使横向发射的光脉冲原路返回（见图8－10a）。设车厢的宽度为b，则在光脉冲来回往返过程中，车上的钟走过的时间为


从路基（K系）的观点看，由于列车在行进，光线走的是锯齿形路径（图8－10b），光线“来回”一次的时间为：
注意，这里用到了在两参考系中车厢的宽度b一样的性质。由两式消去b，得Δt和Δt′之间的关系：
式中，
小于，故
这就是说，在一个惯性系（如上述K系）中，运动的钟（如上述列车里的钟）比静止的钟走得慢。这种效应叫做爱因斯坦延缓，时间膨胀，或钟慢效应。
必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。因而在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周围发生的一切变得沉闷呆滞。
还必须指出，运动是相对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示的时间间隔Δτ叫做该物体的固有时间。（8.1）式中的Δt′就是列车里乘客的固有时间Δτ，故
Δt＝rΔτ. （8.1′）
在日常生活中爱因斯坦延缓是完全可以忽略的，但在运动速度接近于光速时，钟慢效应就变得重要了。在高能物理的领域里，此效应得到大量实验的证实。例如，一种叫做μ子的粒子，是一种不稳定的粒子，在静止参考系中观察，它们平均经过2×10-6S（其固有寿命）就衰变为电子和中微子。宇宙线在大气上层产生的μ子速度极大，可达V＝2.994×108m/S＝0.998c。如果没有钟慢效应，它们从产生到衰变的一段时间里平均走过的距离只有（2.994×108m/s）×（2×10-6S）≈600m，这样，μ子就不可能达到地面的实验室。但实际上μ子可穿透大气9000多米。试用钟慢效应来解释：以地面为参考系子的“运动寿命”为

按此计算，μ子在这段时间通过的距离为（2.994×108M/S）×（3.16×10-5S）≈9500m，这就与实验观测结果基本上一致了。
4.2长度收缩
现代化的方法测量一个物体的长度可以不用尺，而用激光。为了在相对静止的参考系K′内测量一直杆的长度，可在直杆的一端加一脉冲激光器和一接收器，另一端设一反射镜，如图8－11a所示。精密测得光束往返的时间间隔Δt′后，即可得知直杆的长度
L′=L0＝cΔt′/2.        （8.3）
怎样找到有相对运动的参考系K中测得直杆的长度L与它的固有长度L0之间的关系呢？首先要弄清楚什么是不变的，什么是可比的。按照光速不变原理，光速c是不变的。另外，根据（8.1）式，从K系观测上述测量过程的时间间隔Δt与在K′系本身里的时间间隔Δt′是可比的：

式中V为直杆在K系中的速度。下面我们就来看，此测量过程在K系里是怎样表现的，并从中找到Δt和L的关系。
在K系中观测，光束往返的路径长度d1和d2是不等的，从而所需的时间Δt1和Δt2也不等。设直杆以速度V沿自身长度的方向运动，它在时间间隔Δt1内走过距离VΔt1（见图8－11b），故


（见图8－11c），由此得

这便是我们要找的Δt和L的关系式。与（8.3）式比较，有

由于上式里的根式小于1，这就是说，物体沿运动方向的长度比其固有长度短。这种效应叫做洛伦兹收缩，或尺缩效应。
在1.3节所举的μ子例子里，μ子以V＝0.998 c的速度垂直入射到大气层上，已知它衰变前通过的大气层厚度为L=9500m，在μ子本身的参考系看来，这层大气有多厚呢？因为对于μ子来说，大气层是以速度-V运动的，按洛伦兹收缩公式（8.5），其厚度为

这正是原先预期的结果。

阅读材料：宇宙执法者的历险
宇宙执法者AD在A行星上被邪恶的EN博士所擒。EN博士给AD喝了一杯13小时后发作的毒酒，并告诉AD解药在距此40，000，000，000公里远的B行星上。AD得知此情况后立即乘上其0.95倍光速的星际飞船飞往B星，那么：AD能到达B星并取得解药吗？
我们做如下的计算：A、B两行星之间的距离为40，000，000，000公里。飞船的速度是1，025，000，000公里/小时。把这两个数相除，我们得到从A行星到B行星需要39小时。那么AD必死无疑。
等一下！这只对于站在A行星上的人而言。由于毒药在AD的体内是要经过新陈代谢（才能发作）的，我们必须从AD的参照系出发研究这一问题。我们可以用两种方法做这件事情，它们将得到相同的结论。
1. 设想一个大尺子从A行星一致延伸到B行星。这个尺子有40，000，000，000公里长。然而，从AD的角度而言，这个尺子以接近光速飞过他身边。我们已经知道这样的物体会发生长度收缩现象。在AD的参照系中，从A行星到B行星的距离以参数γ在收缩。在95％的光速下，γ的值大约等于3.2。因此AD认为这段路程只有12，500，000，000公里远（400亿除以3.2）。我们用此距离除以AD的速度，得到12.2小时，AD将提前将近1小时到达B行星！
2. A行星上的观察者会发现AD到达B需要花费大约39小时时间。然而，这是一个膨胀后的时间。我们知道AD的“钟”以参数γ（3.2）变慢。为了计算AD参照系中的时间，我们再用39小时除以3.2，得到12.2小时。（也）给AD剩下了大约1小时（这很好，因为这给了AD20分钟时间离开飞船，另外20分钟去寻找解药）。
AD将生还并继续与邪恶战斗。
如果对上文中我的描述加以仔细研究，你会发现许多似是而非，非常微妙的东西。当你深入地思考它的时候，一般你最终将提出这样一个问题：“等一下，在AD的参照系中，EN的钟表走得更慢了，因此在AD的参照系中，宇宙旅行应花费更长的时间，而不是更短……
好，这就是我们刚刚看到的。我们已经发现在AD相对于EN参照系旅行中的时间膨胀。在EN参照系中，AD是运动的，因此AD的钟走得慢。结果是在此次飞行中EN的钟走了39小时，而AD的钟走了12小时。这常常使人们产生这样的问题：相对于AD的系，EN是运动的，因此EN的钟应该走得慢。因此当AD到达B行星的时候，他的钟走的时间比EN的长。谁对？长还是短？
好问题。当你问这个问题的时候，我知道你已经开始进入情况了。在开始解释之前，我必须声明在前文所叙述的事情都是对的。在我所描述的情况下，AD可以及时拿到解药。现在让我们来解释这个徉谬。这与我尚未提及的“同时性”有关。相对论的一个推论是：同一参照系中的两个同时（但不同地点）发生的事件相对于另一个参照系不同时发生。
让我们来研究一些同时发生的事件。首先，让我们假设EN和AD在AD离开A行星时同时按下秒表。按照EN的表，这趟B行星之旅将花费39小时。换言之，EN的表在AD到达B行星时读数为39小时。因为时间膨胀，AD的表与此同时读数为12.2小时。即，以下三件事情是同时发生的：
1、EN的表读数为39
2、AD到达B行星
3、AD的表读数为12.2
这些事件在EN的参照系中是同时发生的。
现在在AD的参照系中，上述三个事件不可能同时发生。更进一步，因为我们知道EN的表一定以参数γ减慢（此处γ大约为3.2），我们可以计算出当AD的表读数为12.2小时的时候，EN的表的读数为12.2/3.2＝3.8小时。因此在AD的系中，这些事情是同时发生的：
1、AD到达B行星
2、AD的钟的读数为12.2
3、EN的钟的读数为3.8
前两项在两个系中都是相同的，因为它们在同一地点——B行星发生。两个同一地点发生的事件要么同时发生，要么不同时发生，在这里，参照系不起作用。
从另一个角度看待此问题可能会对你有所帮助。你所感兴趣的事件是从AD离开A行星到AD到达B行星。一个重要的提示：AD在两个事件中都存在。也就是说，在AD的参照系中，这两个事件在同一地点发生。由此，AD参照系的事件被称作“正确时间”，所有其他系中的时间都将比此系中的更长（参见时间膨胀原理）。不管怎样，如果你对AD历险中的时间膨胀感到迷惑，希望这可以使之澄清一些。如果你原本不糊涂，那么希望你现在也不。
阅读材料：孪生子效应
让我们畅想一下乘接近光速的光子火箭去作星际旅游。离我们最近的恒星（南门二）有4光年之遥，来回至少8年多。“天阶夜色凉如水，坐看牵牛织女星。”牛郎星远16光年，织女星远26.3光年，一来一回就得三五十年，若天假其年，在一个人有生之日还来得及造访一次。但要跨出银河系，到最近的星系（小麦哲伦云）也要15万光年，今生今世不必问津了。
以上说法对吗？否！那是经典力学的算法，它只适用于地球参考系。考虑时间的相对性，光子火箭里乘客的固有时比这要短rˉ1倍。只要火箭的速度V可以无限趋近光速c，r可以趋于∞，无论目标多远，乘客在旅途上花费的固有时间原则上可以任意短。问题是，当他们回来的时候将看到什么？设想一对年华正茂的孪生兄弟，哥哥告别弟弟，登上访问牛郎织女的旅程。归来时，阿哥仍是风度翩翩一少年，而前来迎接他的胞弟却是白发苍苍一老翁了。这真应了古代神话里“天上方一日，地上已七年”的说法！且不问这是否可能，从逻辑上说得通吗？按照相对论，运动不是相对的吗？上面是从“天”看“地”，若从“地”看“天”，还应有“地上方一日，天上已七年”的效果。为什么在这里天（航天器）、地（地球）两个参考系不对称？这便是通常所说的“孪生子佯谬（twin paradox）”。
从逻辑上看，这佯谬并不存在，因为天、地两个参考系的确是不对称的。从原则上讲，“地”可以是一个惯性参考系，而“天”却不能。否则它将一去不复返，兄弟永别了，谁也不再有机会直接看到对方的年龄。“天”之所以能返回，必有加速度，这就超出狭义相对论的理论范围，需要用广义相对论去讨论。广义相对论对上述被看作“佯谬”的效应是肯定的，认为这种现象能够发生。
然而，实际上“孪生子”效应真的可能吗？真人作星际旅游，在今天仍是科学幻想；但在有了精确度极高的原子钟时代，用仪器来做模拟的“孪生子”实验已成为可能。实验是1971年完成的：将铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上的钟慢59ns和快273ns（1ns等于10ˉ9S）。因为地球以一定的角速度从西往东转，地面不是惯性系，而从地心指向太阳的参考系是惯性系（忽略地球公转）。飞机的速度总小于太阳的速度（即在该点地心参考系相对于地面参考系的速度），无论向东还是向西，它相对于惯性系都是向东转的，只是前者转速大，后者转速小，而地面上的钟转速介于二者之间。上述实验表明，相对于惯性系转速愈大的钟走得愈慢，这和孪生子问题所预期的效应是一致的。上述实验结果与广义相对论的理论计算比较，在实验误差范围内相符。因而，我们今天不应再说“孪生子佯谬”，而应改称孪生子效应了。
五、洛仑兹变换与速度变换
5.1洛伦兹变换公式
现在我们来讨论一个事件的时间和空间坐标在不同惯性系之间的变换关系。伽利略变换式就是这类的变换关系，不过它只适用于牛顿力学，不保证光速的不变性。下面我们要推导的变换关系以光速不变原理为依据，是相对论的坐标变换关系。假设有一个惯性参考系K，在其中取一个空间直角坐标系Oxyz，并在各处安置一系列对K系静止，且对K系来说是对准了的钟（我们把这些钟称作K钟）。在参考系K中一个事件用它的空间坐标（x，y，z）和时间坐标t（即在该地点K钟的读数）来描写。类似地，对于另一个惯性参考系K′，也在其中取一个空间直角坐标系O′x′y′z′，并在各处安置一系列对K′系静止的，且对K′系来说是对准了的钟（K′钟）。在参考系K′中，一个事件用它的空间坐标（x′，y′，z′）和时间坐标t′（该地点K′钟的读数）来描写。
为简明起见，设两坐标原点O、O′在t=t′＝0时刻重合，且K′系以匀速V沿彼此重合的x和x′轴正方向运动，而y和y′轴、z和z′轴保持平行（见图8－12）。于是

设在x、x′轴上的A点发生一事件，对K系来说A点的坐标为

式中的根式是由于K′系以速度V相对于K系运动而出现的尺缩因子，于是有

从中可将x′解出来：

因为K系和K′系的运动是相对的，若把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，我们就得到从K系到K′系的逆变换关系：

从以上两式消去x′：

由此解出t′：

如果A点不在x、x′轴上，则由于垂直方向长度不变，我们有y′=y，z′=z.综上所述，我们得到从K系到K′系空间、时间坐标的变换关系：

以上便是著名的洛伦兹变换方程。易见，在V< 把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，得到从K系到K′系的逆变换关系：

上述洛伦兹变换的四个变量之间的变换，由于我们采取了特殊的x轴方向，y、z两个变量不变，（8.8）和（8.9）式简化成x、t两个变量之间的变换。这样，我们就可以用一张平面图将它们表示出来。为了量纲一致，我们用ct代替t作纵坐标，以x为横坐标，作图8－13a、b，分别对应正、逆洛伦兹变换（8.8）式、（8.9）式。可以看出，变换后的坐标系不再是直角的，但变换中两坐标轴的分角线（在高维空间实为圆锥面，称为光锥）x=±ct或x′=±ct′不变，这是光速不变原理要求的。

例题1  宇航员乘宇宙飞船以0.8c的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球。以地球为K系，去时的飞船为K′系，返时的飞船为K″系。在地球和天体上各有一个K钟，彼此是对准了的。起飞时地球上的K钟和飞船上的K′钟的指示t＝t′＝0.
（1）求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数。
（2）假定飞船是2000年元旦起飞的。此后每年元旦宇航员和地面上的孪生兄弟互拍贺年电报。求以各自的钟为准他们收到每封电报的时刻。

宇航员起飞时天体上的K钟并未与地球上的K钟对准，而是预先走了
t天=γ（t′+βx′/c）=γβx′/c=βx/c=O.8×8 l.y./c=6.4年。
（见图8－14a）运算时用到数据：t′=0，天体到地球的距离γx′=x＝8 l.y.
由于洛伦兹收缩，宇航员观测到自己的旅程长度为x′=x/γ=8 l.y.×0.6＝4.8l.y.，单程所需时间为t′=4.8 l.y./0.8c＝6年，即当他到达天体时K′钟指示6年。在此期间由于爱因斯坦延缓，K钟只走了t＝t′

的K钟读数分别为3.6年和（6.4＋3.6）年=10年（见图8－14b）。
到达天体时宇航员立即迅速调头，相当于换乘K″系的飞船以同样的速率返航，这时他飞船上的K″钟仍然指示t″=6年的地方。对于K″系此刻地球上K钟的读数t地比当地K钟的读数t天=10年超前了6.4年（理由同前），即t地=（10＋6.4）年=16.4年（见图8－15a）。也就是说，在宇航员从K′换到K″系时，地球上的K钟一下子从3.6年跳到16.4年，突然增加了12.8年。

作与离去时同样的分析，可知在返程中K″钟走过6年，K″系观测到K钟走过3.6年。即当他返回地球时，t″＝（6＋6）年=12年，t天＝（10＋3.6）年=13.6年，t地=（16.4＋3.6）年=20年（见图8－15b）。回到地球宇航员发现同胞兄弟比自己老了8年。
（2）坐在宇宙飞船上的宇航员并不能即时地看到K钟的读数，他只能通过接收来自地球的无线电讯号间接地推算人间光阴的流逝。起初，当飞船离地球而去时，收贺年电报的周期拉得很长。这一方面是因为对于飞船来说K钟走得慢，另一方面是由于讯号源在退行。对于K系，相继发出两封电报的时间间隔Δt=1年，对于K′系Δt′=γΔt，同时在此期间飞船又走远了βΔt′光年。两个效果合起来，宇航员收报的间隔是（1+β）Δt′＝（1+β）γΔt＝（1＋0.8）年/0.6=3年。按此计算，宇航员驶向天体的6年中只收到2001、2002年两封元旦贺电。
同理，宇航员在回程中收报的间隔是（1-β）Δt″＝（1-β）γΔt=（1－0.8）年/0.6＝1/3年，6年里收到从2003到2020年发出的18封元旦贺电。
我们把宇航员和地面上收到对方新年贺电的时刻列在下表中，而对地面收报情况的具体分析，留给读者自己去讨论。
表8-1 地球上的发报时间t和飞船上的收报时间t′或t″

 
表8-2 飞船上的发报时间t′或t″和地球上的收报时间t

 5.2速度的合成
 现在我们来讨论这样一个问题：如果一个质点在K系的速度是v＝（vx，vy，vz），在K′系看来它的速度v′＝（vx′，vy′，vz′）是什么？注意到

取洛伦兹变换式（8.8）的微分：

最后一式又可写成
dt′＝γ（1－Vvx/c2）dt，
用它去除前三式，即得

这便是相对论的速度合成定理。我们从中看到，虽然垂直于运动方向的长度不变，但速度是变的，这是因为时间间隔变了。
易见，当V< vx′=vx－V，vy′＝vy，vz′＝vz.
这就是我们熟知的经典速度合成公式。
在v平行于x、x′轴的特殊情况下，vx＝v，vy=vz=0，速度合成公式（8.10）简化为

把上式里的V换为-V，带撇的量和不带撇的量对调，我们得到从K系到K′系的逆变换关系：

例题2  一艘以0.9c的速率离开地球的宇宙飞船，以相对于自己0.9c的速率向前发射一枚导弹，求该导弹相对于地球的速率。
解：以地面为K系，宇宙飞船为K′系，按速度合成公式（8.12），有

即导弹相对于地面的速率v仍小于c.
在（8.11）式中当v＝0时，v′=-V.这表明，K系本身在K′系中的速度是-V，这正是相对性原理所要求的倒逆性，而这种倒逆性我们前此在推导逆变换公式时已多次用过了。
我们在1.1节中以玩排球和超新星爆发为例披露了，若假定由运动物体发出的光的速度大于c会导致怎样令人困惑的结论。有了光速不变性，上述困惑自然解除。在（8.11）式中当v＝c时，不管V有多大，

为了精密验证这个结论，从50年代起许多高能物理学家反复测量了高速微观粒子发出的γ射线（一种波长极短的电磁波）的速率，发射粒子的能量从几百个MeV（1MeV＝106eV）到几个GeV（1GeV＝109eV），在很高的精度下（≈10-4）验证了，它们发出γ射线相对于实验室参考系的速率确实等于c.
这样解4个方程立即得到γ＝和洛仑兹变换：
Σ’系→Σ系 Σ系→Σ’系
x=γ(x’+vt’) x’=γ(x - vt)
y=y’ y’=y
z=z’ z’=z
t=γ(t’+vx’/c2) t’=γ(t-vx/c2)
洛仑兹变换统一了时空和运动，统一了高速世界和经典力学研究的低速情况。当ｖ< 　　　Σ’系→Σ系 Σ系→Σ’系
　　　 x= x’+vt’ x’= x - vt
　　　 y=y’ y’=y
　　　 z=z’ z’=z
　　　 t= t’ t’= t
2、相对论的速度变换
可以从洛仑兹时空坐标变换公式导出：
x’=γ(x - vt) dx’=γ(dx - vdt)
y’=y dy’=dy
z’=z dz’=dz
t’=γ(t-vx/c2) dt’=γ(dt-vdx/c2)
则：



相对论的速度变换关系可得出光速不变的有趣结论：当ｕ′＝Ｃ，则：

3、光速是极限速度
1964年到1966年，欧洲核子中心在质子同步加速器中作了有关光速的精密实验。在同步加速器中产生的π°介子以0.99975c的高速飞行，它在飞行中发生衰变，辐射出能量为6×109eV光子，测得光子的实验室速度值仍是C。

例题1：地面参考系Ｋ中，在ｘ＝1.0×106m处，于ｔ＝0.02s时刻爆炸了一颗炸弹。如果有一沿ｘ轴正方向、以υ＝0.75Ｃ速率运动的飞船，试求在飞船参考系Ｋ′中的观察者测得的这颗炸弹爆炸的地点（空间坐标）和时间。若按伽俐略变换，结果如何？
解：由洛仑兹变换式，可求出飞船Ｋ′系中测得炸弹爆炸的空间、时间坐标分别为：


ｘ′<0，说明在Ｋ′系中观测，炸弹爆炸地点在ｘ′轴上原点Ｏ′的负侧；ｔ≠ｔ′说明在两惯性系中测得的爆炸时间不同。
按伽俐略变换式，则：
ｘ′＝ｘ－υｔ＝106－0.75×3×108×0.02＝－3.50×106m
ｔ＝ｔ′＝0.02ｓ
显然与洛仑兹变换所得结果不同。这说明在本题所述条件下，必须用洛仑兹变换计算。
例题2：如图所示，在地面上测到有两个飞船ａ、ｂ分别以＋0.9C和－0.9C的速度沿相反方向飞行。求飞船ａ相对于飞船ｂ的速度有多大？

解：设Ｋ系被固定在飞船ａ上，则飞船ａ在其中为静止，而地面对此参考系以υ＝0.9ｃ的速度向右运动。以地面为参考系Ｋ′，则飞船ｂ相对于Ｋ′系的速度按题意为ｕx′＝0.9ｃ。将这些数值代入式，即可求得飞船ｂ相对于Ｋ系的速度，亦即相对于飞船ａ的速度。

如用伽俐略速度变换进行计算，结果为：
ｕx＝ｕx′＋υ＝0.9c+0.9c＝1.8c>c

六、相对论的动量与能量

6.1动量、质量与速度的关系
在相对论中我们仍定义，一个质点的动量p是一个与它的速度v同方向的矢量，故仍把它写成
p＝mv，                                            （8．16）

我们把上式中动量与速度的比例系数m仍定义为该质点的质量，不过，由于在数量上p不一定与v有正比关系，我们把对此的偏离都归结到比例系数m内，即假设质量m是速度的函数。由于空间各向同性，我们认为m只依赖于速度的大小v，而不再与它的方向有关，即
m＝m（v），                              （8．17）
且当v／c→0时，m→经典力学中的质量m0（称为静质量）。
下面考查一个例子——全同粒子的完全非弹性碰撞。如图8-19所示，A、B两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。我们从K、K′两个惯性参考系来讨论这个事件：在K系中B粒子静止，A粒子的速度为v，它们的质量分别为mB=m0和mA＝m（v）；在K′系中A粒子静止，B粒子的速度为-v，它们的质量分别为mA=m0和mB＝m（v）．显然，K′系相对于K系的速度为v．设碰撞后复合粒子在K系的速度为u，质量为M（u）；在K′系的速度为u′，由对称性可以看出，u′＝-u，故复合粒子的质量仍为M（u）。根据守恒定律，我们有
质量守恒：m（v）＋m0＝M（u），                                            （8．18）
动量守恒：m（v）v＝M（u）u．                                              （8．19）

另一方面，根据相对论的速度合成公式（8．11），我们有


由此解得

因u＜v，负号应舍。将正号的解代入（8．20）式右端，得

这是相对论中非常重要的质速关系，图8-20中给出了它的曲线，并附有图上列了名的几位早年作者的实验数据点。根据此式和（8．16）式，我们立即可以写出动量的完整表达式：


如图8-16所示，在物体的速度不大时，质量和静质量m0差不多，基本上可以看作是常量。只有当速率接近光速c时，物体的质量m（v）才明显地迅速增大。此时相对论效应开始变得重要起来。
由（8.21）式和图8-16可见，β=v／c→1时，质量m（v）迅速趋向无穷。这就是说，物体的速度愈接近光速，它的质量就愈大，因而就愈难加速。当物体的速率趋于光速时，质量和动量一起趋于无穷大。所以光速c是一切物体速率的上限。如果v超过c，质速公式（8．21）给出虚质量，这在物理上是没有意义的，也是不可能的。
例题3  施恒力F将一个静止质量为m0的粒子从静止状态加速，若F／m0＝0.5c／s，求t＝0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0s时粒子的速度和动能。
解：t时刻粒子的动量为

由此解得

动能为

将用这些公式计算的结果和相应的经典值列于下表：

6.2力、功和动能
我们在牛顿力学里把力定义为动量的时间变化率，这个定义是可直接推广到相对论中的。

这是牛顿第二定律在相对论中的推广。
我们假定在相对论中，功能关系仍具有牛顿力学中的形式。物体的动能Ek。等于外力使它由静止状态到运动状态所作的功：

即Ek=（m－m0）c2．                                                                 （8．24）
这便是相对论的质点动能公式，它等于因运动而引起质量的增加Δm＝m-m0乘以光速的平方。在v2／c2 1的情况下，将此式作泰勒级数展开：

忽略高次项，就是我们所熟悉的牛顿力学动能公式。

6.3质能关系
 在能量较高的情况下，微观粒子（如原子核、基本粒子）相互作用时导致分裂、聚合、重新组合等反应过程。以一个不稳定的原子核裂变为例，假定质量为M的母核分裂为一系列质量为mi（i＝1，2，…）的碎片。在母核静止的参考系内看，碎片朝四面八方飞散，各获得一定的速度vi和动能
Eki=[mi（vi）-mi0]c2，碎片获得的总动能为

由于反应前后质量守恒：


上式右端括弧里是反应前母校的静质量M0与反应后产物的总静质量

中获得的总动能，等于质量亏损乘上光速c的平方。
在上述核反应过程中机械能（在这里就是动能）从无到有，是不守恒的。但是人们总希望找到一种表述，让系统的总能量保持守恒。在普通的炮弹爆炸时，我们说，碎片的动能来自于炸药的化学能。把化学能计算在内，爆炸前后的总能量是守恒的。在上述核爆炸的过程中，碎片的动能从哪里来？上式表明，它来自于质量亏损。质量亏损算什么能量？这是在相对论创立以前人们所不知道的一种能量。为了使上述核反应过程中总能量守恒，我们必须承认，一个物体的静止质量m0乘以光速c的平方，也是能量。这种能量叫做物体的静质能。静质能是每个有静质量的物体都有的，哪怕它处于静止状态。对于一个以速率v运动的物体，其总能量E为动能与静质能之和：
E=Ek＋m0c2，

这公式叫做质能关系，它把“质量”和“能量”两个概念紧密地联系在一起。
光速c＝3×108m／s，按质能关系计算，1千克的物体包含的静质能有9×1016焦耳，而1千克汽油的燃烧值为4.6×107焦耳，这只是其静质能的二十亿分之一（5×10-10）。可见，物质所包含的化学能只占静质能的极小一部分，而核能（通常叫做“原子能”）占的比例就大多了。例如铀235本身的质量约为235原子质量单位，而裂变时释放的能量可达200MeV，这约相当于1／5原子质量单位的质量亏损，占它总静质能的8.5×10-4～10-3，比例比化学能大了六个多数量级。这就是为什么原子能是前所未有的巨大能源。爱因斯坦建立的相对论推出了“E＝mc2”这样一个简短的公式，为开创原子能时代提供了理论基础。所以人们常把此式看作是一个具有划时代意义的理论公式，在各种场合印在宣传品上，作为纪念爱因斯坦伟大功绩的标志。

6.4相对论动量和能量的关系
为了找到能量和动量之间的关系，我们取（8．21）式的平方：

乘以c2（c2－v2），得
m2c4－m2v2c2=m02c4．
上式左端第一项为E2，第二项为p2c2，故得

这便是相对论的能量动量关系。（8.26）式可用如图8-21所示的动质能三角形来表示。这是个直角三角形，底边是与参考系无关的静质能m0c2，斜边为总能量E，它随正比于动量的高pc的增大而增大。在v→c的极端情形下，E≈pc（极端相对论情形）。

有些微观粒子，如光子、中微子，是没有静质量的，因而也没有静质能。它们没有静止状态，一出现，速率总是c．它们有一定的能量E，令（8．26）式中的m0＝0，得这类粒子动量的大小与能量的关系式：

当然我们也可以根据质能关系定义它们的动质量m=E／c2，但这类粒子的速率c是不变的，质量丧失了惯性方面的含义，几乎成了能量的同义语。一个电子和一个正电子遇到一起，可以湮没，变成两个γ光子。这是静质能全部转化为动能的例子。


练习题
1、两粒子静止质量为 m 以速度 0.6c 迎头相撞。 撞后粘在一起。求撞后总质量 M。
答案：M=2.5m

2、一艘以0.9c的速率离开地球的宇宙飞船，以相对于自己0.9c的速率向前发射一枚导弹，求该导弹相对于地球的速率。答案：0.994c。


3、假定从A到B是一段隧道，隧道与列车的静止长度是相等的；在地面参考系中看，如果当列车的前端A′刚好到达隧道的出口A时，有一闪电击中隧道的B端，试问此闪电能击中火车的B′端吗？
答案：不能
 
4、一飞船和一彗星相对地面分别以速度0.6c和0.8c的速度相向而行，在地面上观测，再有5s二者就会相撞，问：(1)飞船上看彗星的速度是多少？(2)从飞船上看二者经过多少时间相撞？


5、地面6000m的高空大气层中，产生一个π介子以速度飞向地球，假定π介子在自身参照系中的平均寿命为，根据相对论，试问：(1)地球上的人能否观测到介子？(2)与介子一起运动的参照系中的观测者认为介子可以到达地面吗？

6、串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S 是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分 N 为充有氮气的管道，通过高压装置 H 使其对地有 5.00×106 V 的高压。现将氢气通入离子源 S，S 的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0）在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流。氢负离子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器的终端靶子 T 。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达 T 时的速度 v 。
电子电荷量 q＝1.60×10－19 C，质子的静止质量 m0＝1.673×10－27 kg。
答案：

7、封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R>r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2 、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出S
v
R
xA
O
l
r
O2
O1
的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：
(1)车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．答案：
(2)地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．答案：

8、如图，一波长为的光子和一质量为m的静止粒子 (电子) 碰撞。碰撞后光子一偏角q 射出，求出射光子的波长。(这就是有名的Compton 散射实验)

答案：

9、宇航员乘宇宙飞船以0.8c的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球。以地球为K系，去时的飞船为K′系，返时的飞船为K″系。在地球和天体上各有一个K钟，彼此是对准了的。起飞时地球上的K钟和飞船上的K′钟的指示t＝t′＝0.求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数。
答案：到达：6(人)；3.6(在)；10(天)。返回：12(人)；20(在)；13.6(天)



10、施恒力F将一个静止质量为m0的粒子从静止状态加速，若F／m0＝0.5c／s，求t＝0，0.1，0.6， 1.0s时粒子的速度和动能。
答案：0；0.118；2.172；4.154