2021年中考数学总复习 拉分题训练课件 静态几何图形综合探究

这是一份2021年中考数学总复习 拉分题训练课件 静态几何图形综合探究，共44页。PPT课件主要包含了等腰直角三角形等内容，欢迎下载使用。

1．三角形【例1】(2020·牡丹江)在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F.请解答下列问题：
(1)当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；(2)当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)、(2)的条件下，若DE＝2AE＝6，求CF的值．
【分析】(1)利用AAS证明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，再根据角平分线和平行的性质证明CF＝MF，AE＝EF，从而得证；(2)延长CD，EF交于点M.同(1)可通过证△MED≌△CBD进而求解；(3)先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
(1)证明：∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∵MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD(AAS)，∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；
(2)解：当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，如图①，延长CD，EF交于点M.由(1)同理可证△MED≌△CBD(AAS)，∴ME＝BC，由(1)证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC.如图②，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED≌△CBD(AAS)，BC＝EM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∠FMC＝∠MCE，∴EF＝AE，CF＝FM，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6，当DE＝2AE＝6时，题图①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE＋AE＝15，∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18；题图②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝BC－AE＝9－3＝6；题图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6.
1．(2020·襄阳)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE.(1)特例发现：如图①，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝____°；
(1)①证明：如题图①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF；(2)解：∠ACE的度数为定值且∠ACE＝90°.理由：∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE＋∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°；
2．(铁岭模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，经过点D的直线与射线AB和射线AC分别交于点N和点M，且BN＝CM，作ME⊥BC，垂足为点E.(1)如图①，当∠BAC＝60°时，直接写出DE和BC的数量关系：________________；(2)如图②，当∠BAC≠60° 时，(1)中DE和BC的数量关系还成立吗？判断并证明；(3)若∠BAC＝30°，BC＝4, ∠MDC＝45° 时，直接写出AN的长度．
3．(2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上，抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？____；(填“是”或“否”)
拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
解：(1)是；【解法提示】如题图②，∵∠EDC＝90°，FD为边E的中线，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB＋∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF；
(2)结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点；
2.四边形【例2】(锦州模拟)已知在四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG，BD交于点F.(1)如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：OE＝OF；(2)如图②，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；(3)如图③，若四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠ABC＝α，且AC⊥BD.结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为________________________(直接写出答案).
OF＝tan(α－45°)OE
1．(阜新模拟)在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点P，E分别是直线BD，BC上的点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F.(1)如图①，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是__________________；(2)如图②，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF；(3)当∠COD＝60°，CD＝3时，请直接写出当△PEF为直角三角形时的面积．
(1)解：如图，在BC上取一点G，使得CG＝BE，连接OB，OC，OG.∵点O为正方形ABCD的中心，∴ OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°.∴△OBE≌△OCG(SAS).∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周长等于BC的长，∴ EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS)，∴∠EOF＝∠GOF＝45°；
(2)证明：∵ 点O为正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG, ∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴ ∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴ △AOE∽△CFO；
3．(2020·昆明)如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)如图②，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM.请说明理由；(3)如图③，若点P是射线AD上一点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝EB，DF＝FC，∴AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEFD是矩形；(2)解：如图①，连接PM，BM.∵四边形AEFD是矩形，∴EF∥AD，∵BE＝AE，∴BO＝OP，由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，∴OM＝OB＝OP；
(1)①解：△AFG是等腰三角形．理由：如图①，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG(ASA)，∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形；