高中数学北师大版必修1第二章 函数综合与测试一等奖复习课件ppt
展开阶段性测试题二
第二章 函 数
(时间:90分钟 满分:120分)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=的定义域为( )
A.{x|x≥1且x≠2} B.{x|x≥-1且x≠2}
C.{x|x>-1且x≠2} D.{x|x>-1}
解析:由题意知,解得x>-1且x≠2.
答案:C
2.函数f(x)=(x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
解析:x2≥0,x2+1≥1,0<≤1.
答案:B
3.若a、b为实数,集合M=,N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b为( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
解析:由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,而M和N中都只有2个元素,故M=N,故有=0且a=1,故b=0,所以a+b=1.
答案:B
4.偶函数y=ƒ(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )
A.ƒ(-1)>f>f(-π)
B.f>f(-1)>f(-π)
C.f(-π)>f(-1)>f
D.f(-1)>f(π)>f
解析:∵ƒ(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),f(-π)=f(π),又ƒ(x)在[0,4]上单调递减,∴f(1)>f>f(π),∴f(-1)>f>f(-π).
答案:A
5.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+x+1
解析:在A中y∈[0,+∞),在C中,y可取负值,在D中,y=x2+x+1=+≥,所以排除A、C、D,故选B.
答案:B
6.设α∈,则使函数y=xα在(0,+∞)内单调递增的所有α值为( )
A.,1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
答案:A
7.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(1-x)=f(1+x),若x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(-3)的值为( )
A.-1 B.3
C.1 D.-3
解析:∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),
∴f(3)=f(2+1)=f(-1).又∵f(x)为偶函数,
∴f(-3)=f(3)=f(-1)=f(1)=12=1.
答案:C
8.如果偶函数f(x)在 [0,+∞)上是增函数且最小值是2,那么f(x)在(-∞,0)上是( )
A.减函数且最小值是2
B.减函数且最大值是2
C.增函数且最小值是2
D.增函数且最大值是2
解析:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2,由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知,f(x)在(-∞,0)上是减函数且最小值是2.
答案:A
9.函数ƒ(x)=的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析:∵1-x(1-x)=1-x+x2=+≥,∴ƒ(x)=≤,∴最大值为.
答案:B
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是( )
A.②④ B.①④
C.②③ D.①③
解析:因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图像,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a.因为a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.
答案:B
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
11.若幂函数ƒ(x)=(m2-m-5)xm-1在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m的值为________.
解析:由m2-m-5=1,得m=-2或m=3.当m=-2时,ƒ(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不合题意;当m=3时,ƒ(x)=x2,满足题意,故m=3.
答案:3
12.已知y=ƒ(x)是奇函数,若g(x)=ƒ(x)+2,且g(1)=1,则g(-1)=________.
解析:∵y=ƒ(x)是奇函数,∴ƒ(-x)=-f(x).又g(x)=ƒ(x)+2,∴g(1)=f(1)+2=1,∴f(1)=-1,∴g(-1)=f(-1)+2=-(-1)+2=3.
答案:3
13.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,设a=f(-2),b=f(1),c=f(3),则a,b,c由小到大依次为________.
解析:∵<0,∴f(x)在[0,+∞)是递减的.又f(x)为偶函数,
∴f(-2)=f(2),
∴f(3)<f(2)<f(1),即c<a<b.
答案:c<a<b
14.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;②若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);③若f:A→B为单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原像;④函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数.其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)
答案:②③
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)已知函数f(x)=(m2+2m)xm2+m-1,m为何值时,ƒ(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;
(3)二次函数;
(4)幂函数.
解:(1)若ƒ(x)为正比例函数,则即∴m=1.
(2)若ƒ(x)为反比例函数,则∴m=-1.
(3)若ƒ(x)为二次函数,则∴m=.
(4)若ƒ(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.
16.(12分)已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=是奇函数,且f=.
(1)确定y=f(x)的解析式;
(2)判断y=f(x)的单调性并用定义证明.
解:(1)y=f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,∴b=0.
∵f=,∴a=1,∴f(x)=.
(2)y=ƒ(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:设-1<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,
又x+1>0,x+1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),∴y=f(x)在(-1,1)上单调递增.
17.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数f(x)的图像,并根据图像写出函数f(x)的增区间;
(2)写出函数f(x)的解析式和值域.
解:(1)因为函数为偶函数,故图像关于y轴对称,补出完整函数图像如图:
所以f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+∞).
(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=x2-2x,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以x>0时,f(x)=x2-2x,
故f(x)的解析式为f(x)=值域为{y|y≥-1}.
18.(14分)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(1)=0;
(2)求证:对任意的x∈R(x≠0),都有f=-f(x);
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性.
解:(1)证明:令x=y=1,则有
f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0.
(2)证明:对任意x≠0,用代替y,有
f(x)+f=f=f(1)=0,
∴f=-f(x).
(3)f(x)在(-∞,0)上是减函数.
取x1<x2<0,则>1,∴f>0.
∵f(x1)-f(x2)=f(x1)+f=f>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数.
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