专题09 圆锥曲线中的探究性问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题九  圆锥曲线中的探究性问题

近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．

模块1  整理方法  提升能力

圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．

例1

【解析】（1）因为，即，而，所以，．又因为，所以，，所以椭圆的方程为．

（2）法1：假设平面内存在定点满足条件，由对称性可知点必在轴上，设．

由，消去可得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即．设，则，，所以．联立，可得．

因为，，由可得，整理可得，由解得，所以存在定点，使得以为直径的圆恒过点．

法2：假设平面内存在定点满足条件，由对称性可知点必在轴上．若直线为，则，，以为直径的圆为，与轴交于点和．下面进行验证．

由，消去可得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即．设，则，，所以．联立，可得．

因为，，所以．因为，，所以．

综上所述，存在定点，使得以为直径的圆恒过点．

【点评】由对称性得到：如果存在定点，则一定在轴上，由此可减少未知数的引入，降低题目的难度．法2是根据对称性和选取特殊情况，求出具体的圆与轴的交点：和，此时只需对这两个点进行检验，如果有满足条件的，则表示点存在，如果都不满足，则表示点不存在．

例2

【解析】（1）由在椭圆上，所以．又因为，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．联立消去可得，设，，则有，．点的坐标为，所以，，．于是

，又因为，所以．所以存在常数符合题意．

【点评】引进直线的斜率，然后用去表示、、，将转化为的方程，该方程有解，则说明实数存在，否则不存在．我们也可以考虑特殊情况，让直线的斜率，则有，，，，，，此时．也就是说，要么常数不存在，要么常数．该猜测能使解题方向更为清晰明确．

例3

【解析】（1）由题意知，又因为，，解得，，所以、的方程分别为，．

【证明】（2）（i）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由得，于是，．又点的坐标为，所以

，所以，即．

【解析】（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由可得或，所以点的横坐标为．设直线的斜率为，同理可得点的横坐标为，于是．由可得，解得或，所以点的横坐标为．同理可得点的横坐标为，于是

，因此．由题意知，，解得或．于是直线的斜率为，解得，所以满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．

【点评】引入直线的斜率，则、、、的坐标都能用去表示，进而用表示，由得到有关的方程，该方程有解，则点存在，从而直线存在，否则点不存在，直线也不存在．

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：在直角坐标系中，曲线：与直线（）交于、两点．

（1）当时，分别求在点和处的切线方程；

（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．

【解析】（1）不妨设，．因为，所以在处的导数值为，所以在处的切线方程为，即．在处的导数值为，所以在处的切线方程为，即．所以在点和处的切线方程为或．

（2）存在符合题意的点．

设点为符合题意得点，，，直线、的斜率分别为、，则．联立，消去，可得，所以，，于是．当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以，所以符合题意．

练习2：如图，：（）的

顶点为、、、，焦点为、，，

．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、

与椭圆相交于、两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由可得，由可得，又因为，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）设、．当垂直于轴时，点就是右焦点，此时，直线不满足条件．

当不垂直于轴时，设的方程为．由与垂直相交于点且可得，即．因为且，所以，于是．由消去可得，于是，，于是

，即．因为方程组无解，所以不存在满足条件的直线．

    综上所述，不存在直线，使成立．

练习3：已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．

（1）求的方程；

（2）试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】（1）设，依题意有，化简可得（）．

（2）法1：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上，设．设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理，于是，．由可得，即，即，即，解得或，所以以线段为直径的圆过定点和．

法2：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上．若垂直于轴，则，直线方程为，所以点坐标为，此时以为直径的圆的方程为，该圆与轴交于点和．下面进行验证．

设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理．

因为，，所以

．同理．所以以线段为直径的圆过定点和．