专题1.4导数的综合应用-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典
专题1.4 导数的综合应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
一、 选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·甘肃靖远�高三其他（文））函数在上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令，显然不是函数的零点，可得．
设，，因为，
所以当，，
当，，当，，
∴的极小值为，而，故作出函数和在上的图象，如图所示：

所以，两函数图象有两个交点，即函数在上的零点个数为2．
故选：B．
2．（2020·四川广元高三三模（文））如果关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式在上恒成立等价于,求导后判断导函数在上的正负号，即可得到函数在上的单调性,即可找到，即可得到的取值范围.
【详解】
当时,不等式成立.
当时,不等式在上恒成立等价于恒成立.
令则.
又,令，解得
所以在上单调递增,在上单调递减, 单调递增.
又因为.
所以.
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题中参数的取值范围.属于中档题.
解本类问题一般有两个方向：
1)直接判断函数的单调性，找到函数的最值.利用恒成立；恒成立找到参数的取值范围.
2)参变分离.先将参数与变量分开，再利用恒成立；恒成立.
3．（2019·河北衡水高考模拟（文））已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意先确定g（x）＝f（x）﹣4x在（0，+∞）上单增，再利用导数转化，可得恒成立，令求得max，即可求出实数a的取值范围．
【详解】
令，因为，所以，
即在上单调递增，故在上恒成立，
即，令.
则，max，即的取值范围为.
故选A.
4．（2019·忠县三汇中学高三期末（文））已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，取得最小值，，
，，
①当时，函数单调递增，，
即 ，解得：，不成立；
②当时，，
即，解得：或，不成立；
③当时，函数单调递减，
即 ，解得：，成立.
综上可知：.
故选：B
5．（2020·河南高三月考（文））若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．
【详解】
令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．
因为，
当时，，当时，，
而，，，
作出图象，

由图可知，．
故选：C．
6．（2020·福建莆田高三期末（文））已知对任意实数都有，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设，
，
，即，
，
，
不等式
当时，，即 ，
设，，
当时， ，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，
当时，，即
设，， ，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
时，取得最大值，，
时，，
当时，恒成立，
综上可知：.
故选：D
【点睛】
本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，，，
，.
7．（2020·贵州南明�贵阳一中高三月考（文））命题，，命题，，下列给出四个命题①；②；③；④，所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数判断命题的正误，并判断出命题的正误，再结合复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，构造函数，则，由.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以，，则，，，命题正确；
对于命题，因为，为真命题，所以命题为假命题.
因此，为真，为假，为真，为假.
故选：A.
8．（2020·江西省南城一中高三期末（文））设函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
由不等式对恒成立，
可得对恒成立，
所以，且，解得，
则不等式对恒成立，所以，则，
所以，.
因此，的取值范围为.
故选：C.
9．（2020·甘肃城兰州一中高三二模（文））已知函数，若与的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，所以设，则,
所以，所以，，由得，
因为，所以时，，是减函数；
当时，，是增函数，
所以时，；当时，，
当时，；
所以，，
所以实数的取值范围是,
所以选B.
10．（2020·麻城市实验高级中学高三其他（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：由得，且，
当时，此时，排除B,C
函数的导数，
由得，即时函数单调递增，
由得且，即或时函数单调递减，
故选：D
11．（2020·安徽金安六安一中高三其他（文））已知函数（），若函数有唯一零点，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，易知函数为偶函数，且，故考虑的情况即可，
当时，，即，
设，表示函数上的点到原点的斜率，根据图象知：
，当时，，故，故，
无解，故.
故选：B.

12．（2020·河南开封高三二模（文））已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数，
函数，其导数，在上为增函数，
函数，在上为增函数，
则函数在上为增函数；
又由，即在上有解，即存在使得，有解，
进而可得存在使得，有解，
在同一坐标系里画出函数与函数的图象；
对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；
要满足存在使得，有解，则直线的斜率；
故实数的取值范围为；
故选：A．

13．（2020·湖北黄州黄冈中学高三其他（文））已知函数，（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别画出和的图像，令，则，要满足题意，则，此时y=m与y=g(t)有两个交点，且，通过研究函数图像，由图可得，，用表示出，构造函数求导可求最值.
【详解】
根据题意画出和的图像，如图，令,则, ,
当时，y=m与y=g(t)有两个交点，且，
当时对应两个x值，当时对应一个x值，则方程恰有三个不等实根，，，且,，取对数得，所以，
构造函数，
，，，
h(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数h(t)取得最小值
故选：B

14．（2020·岳麓湖南师大附中高三三模（文））已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数在区间内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得或化简可得关于的约束条件，利用线性规划求解即可.
【详解】
，当时，，
当时，令，则，所以函数在上单调递减，
由函数在区间内有唯一零点，
得,即
即
或,即,又，，
所以 （1）或 （2）
所以，满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，
则表示点（，）与点（－1，－2）所在直线的斜率，

综上可得的最小值在点处取得，根据得A点坐标满足，所以最小值为，故选A.


二、 填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
15．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高二期末（文））已知函数，，有下列四个命题：
①函数是奇函数；
②函数是定义域内的单调函数；
③当时，方程有一个实数根；
④当时，不等式恒成立，
其中正确命题的序号为__________.
【答案】③④
【解析】对于①②，，，因，
所以不是奇函数.而，故在定义域内不是单调函数，
故①②错误.
对于③，
方程在上是否有一个实数根等价于是否有一个实数根，
也就是在是否有一个零点.
因为（），故在上为单调增函数，
因为，，故在有一个零点.
所以方程在上有一个实数根，故③正确.
对于④，当时，不等式等价于，
令，，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在为增函数，
所以，故在上恒成立，
所以在上恒成立，故④正确.
故答案为：③④.
16．（2020·山西迎泽太原五中高三其他（文））已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】满足的有个，方程有4个根，
设，则，令，得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，，
画出函数的大致图象，如图所示：

，
保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，
即可得到函数的图象如下图所示：


令，则，
所以要使方程有个根，
则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，
设，因为，则只需，解得：，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
17．（2020·四川宜宾�高三二模（文））函数的零点个数为__________．
【答案】
【解析】函数，，
令得：或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，
则函数的大致图象如图所示：

由图象可知，函数有个零点.
故答案为：．
18．（2020·全国高三月考（文））已知函数与的图像上存在关于原点的对称点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得与的图象关于原点对称的函数，再根据函数与的图象上存在关于原点的对称点，转化为与的图象有交点，即有解．再令，求其值域即可.
【详解】
设的图象与的图象关于原点对称，
由，得，
因为函数与的图象上存在关于原点的对称点，
即与的图象有交点，
即有解，
即有解．
令，则，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
所以有最小值，所以，
即．
故的取值范围为．
故答案为：
19．（2020·陕西新城�西安中学高三其他（文））已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是________．
【答案】．
【解析】解：函数定义域，，
由题意可得，是唯一的根，
故在上没有变号零点，
即在时没有变号零点，
令，，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，取得最小值，
故即．
故答案为：．

三、 解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2020·河北枣强中学高三月考（文））．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先求函数导数，再根据定义域研究导函数零点：当时，仅有一个零点；当时，有两个零点；列表分析导函数符号变号规律得单调区间（2）根据（1）得，将不等式转化为证明，构造函数。利用导数可得
试题解析：（1），，
则，
当时，在上单调增，上单调减，
当时，令，解得，，
当，解得，
∴，的解集为，；的解集为，
∴函数的单调递增区间为：，，
函数的单调递减区间为；
当，解得，
∴，的解集为；的解集为，
综上可知：，函数的单调递增区间为：，，函数的单调递减区间为；，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．
（2）证明：∵，故由（1）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴在时取极大值，并且也是最大值，即 ，
又∵，
∴，
设，，
∴的单调增区间为，单调减区间为，
∴，
∵，∴，∴，，
∴．
21．（2020·安徽黄山高三二模（文））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的图象与函数的图象交于，两点，且（为自然对数的底数），求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）依题意，，.
①若，则，故在上单调递增
②若，令，解得.
则当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则由题意可知有两个大于的实数根，
令，则有两个大于的零点
.
因为，则当，时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当时，
所以，要使函数在有两个零点，当且仅当：
解得；
综上所述，实数的取值范围是.
22．（2020·湖北武汉高三其他（文））已知函数.
(I)当a=-1时，
①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)的最小值；
(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.
【答案】（1）切线方程；；（2）证明见解析
【解析】(I)当时，
①函数，，
，即，
曲线在点处的切线方程为.
②令，得，令，得，
所以在上单增，在单减,
函数的最小值为.
(II) 当时，曲线与有且只有一个交点.
等价于有且只有一个零点.
，
当时，，
，则，
当时，，
，则，
在上单增，
又，
，
由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点.
【点睛】
判断函数零点个数及分布区间的方法：
（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；
（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；
（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
23．（2020·陕西西安高三三模（文））已知函数f（x）＝．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）令h（x）＝x2f（x），若对∀x≥1都有h（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
【答案】（1）极大值，无极小值（2）
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，利用导数求函数单调区间，即可确定函数极值；
（2）由题意，不等式可转化为对∀x≥1都成立，利用导数判定的单调性，求出的最小值即可求出的取值范围.
【详解】
（1）f（x）＝的定义域为，
，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在上有极大值
（2），
由对∀x≥1，都有h（x）≥ax﹣1可得：对∀x≥1，都有，
即对∀x≥1都成立，
令，
则，
，
，
，
在上单调递增，
，
.
24．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（文））已知函数，其导函数为，函数，对任意，不等式恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先得到，由不等式恒成立，构造函数分，，再利用导数论证即可.
（2）由（1）得，当时，，易得，将证，，转化为证明，然后分，，令，利用导数结合证明即可.
【详解】
（1），，
，，
（i），，在递增，又，与题意不符，舍去.
（ii），；，在递减，在递增，
，
由已知得恒成立，
所以需，
所以需①
设，，，，
在递增，在递减，所以，即②
由①②得实数的值1.
综上.
（2）由（1）得，当时，，即，，
欲证：，，即证：，
即证：.
①当时，，
②当时，令，则，；，
在递减，在递增，所以时，，
由已知，故，即当时，，所以时，，
综上，时，恒成立，故，
成立.
25．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三期末（文））已知函数
（Ⅰ）讨论极值点的个数；
（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：
【答案】（Ⅰ）当时,无极值点；当时,有1个极值点；
当或,有2个极值点.
（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导可得,再分与两种情况进行讨论即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)以及可得,再求得关于的解析式,再令,构造函数,再求导分析的单调性与最值证明即可.
【详解】
解：（Ⅰ）由题得,的定义域为,
ⅰ.若,则,所以当时,单调递减,
当时,单调递增.
所以,是唯一的极小值点,无极大值,故此时有且仅有1个极值点.
ⅱ. ,令
①当时,,则当时,单调递增,
当,单调递减.
所以,分别是极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.
②当时,是的不变号零点,且
故此时在上单调递增,无极值点.
③当时,,则时,单调递增,
当时,单调递减.
所以,分别是极小值点和极大值点,此时有2个极值点.
综上,当时,无极值点；当时,有1个极值点；
当或,有2个极值点.
（Ⅱ）证明：若是的一个极值点,
由（Ⅰ）知,或,且,
,
令,则,所以
故
所以,当时,单调递增；当时,单调递减,
所以是唯一极大值点也是最大值点,即 .
从而,即.（证毕）
26．（2020·广东东莞�高三其他（文））已知.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.
【详解】
（1）的定义域为
∵，，
∴当时，；时，
∴函数在上单调递减；在上单调递增.
（2）当时，
由题意，在上恒成立
①若，当时，显然有恒成立；不符题意.
②若，记，则,
显然在单调递增，
（i）当时，当时，
∴时，
（ii）当，，
∴存在，使.
当时，，时，
∴在上单调递减；在上单调递增
∴当时，，不符合题意
综上所述，所求的取值范围是
27．（2020·广西兴宁南宁三中高二期末（文））已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.
【详解】
（I）．
∴在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立．
令，则，
∴当时，，即在内为增函数；
当时，，即在内为减函数．
∴的最大值为，
∴
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
由（I），知．
由，两式相减，得．
不妨设，
∴要证明，只需证明．
即证明，亦即证明．
令函数．
∴，即函数在内单调递减．
∴时，有，∴．
即不等式成立．
综上，得．
28．（2020·河南高三其他（文））已知函数的最小值为2.
（1）求a的值以及f（x）的单调区间；
（2）设，n∈N*，证明：.
【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1），
当时，单调递增；当时，单调递减；
因此当时，取最小值，即；
因此单调增区间为，单调减区间为；
（2）由（1）得


29．（2020·河南高三其他（文））已知函数.
（1）若有三个不同的零点，求a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先令，分离出常数，设，对求导，分析单调性，找到极值，画出图像，最后观察得出的取值范围.
（2）代入，整理得，设，对求导，分析其在上的单调性，得出恒成立，分离常数，，再设，分析单调性，结合得出的范围，最后得出的范围.
【详解】
解：（1）令，则.
设，则，
令，得；
令，得或，
则在和上单调递减，在上单调递增，
故，.
结合的图象
可知的取值范围为.
（2）不等式，
即，
整理得.
设，则.
因为，所以，
所以，
则.设，则
.
因为，所以，，
所以，所以在上单调递减，
所以，
故，即a的取值范围是.
30．（2020·重庆九龙坡高三其他（文））已知函数，．
（1）当a＝0时，求的极值；
（2）证明时，不等式对任意均成立．
（其中e为自然对数的底数，e＝2.718…）．
【答案】（1）取得极小值为，无极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数定义域是．
时，，，
时，，递减，时，，递增，
∴时，取得极小值为，无极大值；
（2）不等式为，即，
令，则，
令，则，∴是上的增函数，，，
∴在上存在唯一零点，，，
当时，，，递增，时，，，递减，，
设，，，单调递增，
∴，∴，
∴时，不等式在上恒成立．