2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-8 word版含答案

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 www.ks5u.com 真题演练集训 1．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.故四边形MPNQ的面积为S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点， AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．　①　　　　　　　　　　②(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且||＝||＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且即且t(t－2x0)＝0. 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－.代入x＋y＝1，可得＋＝1，故曲线C的方程为＋＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8. ②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.(*1)又由 可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＝.(*2)将(*1)代入(*2)，得S△OPQ＝＝8. 当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；当0≤k2<时，S△OPQ＝8＝8.因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时等号成立．所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. 课外拓展阅读 参数法求轨迹方程　已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，则点M的轨迹为________．　(1)点M的运动是由点A的运动引起的，而A的变动又和OA的斜率有关．(2)若OA的斜率确定，A的坐标确定，M的坐标也确定，所以可以选OA的斜率为参数．　设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为y＝kx，显然k≠0，则直线OB的方程为y＝－x.由得点A的坐标为，同理可得，点B的坐标为(4pk2，－4pk)． 从而知当k≠±1时，kAB＝＝.故得直线AB的方程为y＋4pk＝(x－4pk2)，即y＋4p－x＝0，①直线OM的方程为y＝－x.②可知点M的坐标同时满足①②，由①及②消去k，得4px＝x2＋y2，即(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，当k＝±1时，容易验证点M的坐标仍适合上述方程．故点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，其轨迹是以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆．　以点(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆