2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-9 word版含答案

 www.ks5u.com 真题演练集训

1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A. ＋＝1   B. ＋＝1

C. ＋＝1   D. ＋＝1

答案：D

解析：直线AB的斜率k＝＝，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②，得＝－·.

即k＝－×，

∴＝.③

又a2－b2＝c2＝9，④

由③④得a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.

2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：D

解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；

②求p的取值范围．

(1)解：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，

由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.

所以抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.

①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，

所以y1≠y2，

从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，

化简得p＋2b>0.

方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.

因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.

因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．

②解：因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.

由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，

所以p<.

因此，p的取值范围是.

4．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证：点M在定直线上；

②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

(1)解：由题意知，＝，

可得a2 ＝4b2，

因为抛物线E的焦点F，

所以b＝，a＝1，

所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.

(2)①证明：设P(m>0)．

由x2＝2y，可得y′＝x，

所以直线l的斜率为m.

因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，

即y＝mx－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

联立方程

得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ>0，得0<m<(或0<m2<2＋), (*)且x1＋x2＝，

因此x0＝，

  将其代入y＝mx－，得y0＝，

因为＝－，

所以直线OD的方程为y＝－x.

联立方程

得点M的纵坐标yM＝－，

所以点M在定直线y＝－上．

②解：由①知直线l的方程为y＝mx－.

令x＝0，得y＝－，所以G.

又P，F，D，

所以S1＝·|GF|·m＝，

S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.

所以＝.

设t＝2m2＋1.

则＝＝

＝－＋＋2，

当＝，即t＝2时，取得最大值，

此时m＝，满足(*)式，

所以点P的坐标为，

因此的最大值为，此时点P的坐标为.

课外拓展阅读

忽视讨论二次项系数致误

　已知点A(0,2)和双曲线x2－＝1，过点A与双曲线只有一个公共点的直线的条数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

　设过点A(0,2)的直线为y＝kx＋2.

由得(4－k2)x2－4kx－8＝0.

当k2＝4，即k＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点．

当k2≠4时，方程有一解时Δ＝(－4k)2－4×(4－k2)×(－8)＝0，

∴k2＝8，∴k＝±2k，k为切线的斜率．

综上，共有4条直线．故选D.

　得出方程(4－k2)x2－4kx－8＝0后，不考虑k2＝4，直接由Δ＝0，得k＝±2，错选B.

　D

温馨提醒

直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．