2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第六章　数列 6-3 word版含答案

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1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A．21　　　　　　　   B．42　　　　　　　　　　 

C．63　　　　　　　   D．84

答案：B

解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.

2．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

答案：64

解析：设等比数列{an}的公比为q，

∴⇒

解得

∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)

＝ ＝，

当n＝3或4时，取到最小值－6，

此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.

答案：6

解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.

4．已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列的前n项和等于________．

答案：2n－1

解析：设等比数列的公比为q，

则有解得或

又{an}为递增数列，

∴∴Sn＝＝2n－1.

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解：(1)由题意，得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan，

由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

从而得通项公式an＝n－1.

(2)由(1)，得Sn＝1－n.

由S5＝，得1－5＝，

即5＝，解得λ＝－1.

课外拓展阅读

分类讨论思想在等比数列中的应用

　已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：Sn＋≤(n∈N*)．

(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．

(1)　设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为

an＝×n－1＝(－1)n－1·.

(2)　由(1)知，Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋

＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝；

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

方法点睛

1．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：

(1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况讨论．

(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．

(3)项数的奇、偶数讨论．

(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．

2．数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．