2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第七章　不等式 7-2 word版含答案

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1．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)

A．4   B．9 

C．10   D．12

答案：C

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，x2＋y2取得最大值，

由

解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.

2．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)

A．0   B．3 

C．4   D．5

答案：C

解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

由解得故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1,2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4.故选C.

3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

A.12万元   B．16万元

C．17万元   D．18万元

答案：D

解析：

设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有

目标函数为z＝3x＋4y，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．

4．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；

p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；

p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；

p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3       B．p1，p4 

C．p1，p2       D．p1，p3

答案：C

解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由得交点A(2，－1)．

目标函数的斜率k＝－>－1，

观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.结合题意知p1，p2正确．

5．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

答案：

解析：约束条件对应的平面区域是以点，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点时，z取得最大值.

课外拓展阅读

非线性目标函数最值的求解

类型1　斜率型非线性规划问题的最值(值域)

目标函数形式一般为z＝(ac≠0)，求解步骤为

(1)需先弄清其几何意义，z＝·表示的是可行域内的点(x，y)与点所连直线的斜率的倍．

(2)数形结合，确定定点，观察可行域的范围．

(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．

　已知变量x，y满足约束条件则f(x，y)＝的取值范围是________．

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

f(x，y)＝

＝.

令＝k，则g(k)＝＝2－.

而k＝表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤kOB，

而kOA＝＝，kOB＝＝3，

所以≤k≤3，

即≤f(x，y)≤.

类型2　距离型非线性规划问题的最值(值域)

1．目标函数形式为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，求解步骤为：

(1)其表示的是可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方．

(2)数形结合，确定定点(a，b)，观察可行域的范围．

(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a，b)到可行域边界直线的垂足处取得．

2．目标函数形如z＝|Ax＋By＋C|时，一般步骤为：

(1)将z＝|Ax＋By＋C|＝·，问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．

(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．

　设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)

A．80   B．4

C．25   D.

→→

　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．

解方程组得点A的坐标为(3,8)，

代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.

　A

实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

　解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

z＝|x＋2y－4|＝·，

即其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得点B的坐标为(7,9)，

显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，

此时zmax＝21.

解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.

　21

技巧点拨

解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．