2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》三(含答案)

2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》三

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5,S5=15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若，求数列{bn}的前100项和．

2.已知数列{an}满足.

（1）求证：是等比数列；

（2）求{an}的通项公式.

3.已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2·a3=45，S4=28.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.

4.等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．

(I)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)数列{bn}是等差数列，a3=b3，a5=b5试求数列{bn}的通项公式．

5.已知数列{an}的前n项和Sn=1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5=，求λ.

6.已知等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为2，且anbn=n·2n．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)令cn=，记数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=2a4-1，S3=2a3-1．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bn=log ，求b1＋b2＋…＋bn的最大值．

8.已知数列{an}满足a1=1，an＋1=，n∈N*.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设T2n=－＋－＋…＋－，求T2n.

9.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2=37，S4=152．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{|an-2n|}的前n项和Tn．

10.已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3， a4，a5成等差数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}的前n项和Sn，求证：Sn＜3．

11.Sn为等差数列{an}的前n项和，且an=1,S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[lg99]=1.

（1）求b1,b11,b101；

（2）求数列{bn}的前1 000项和.

12.设数列{an}的前项和为，．已知，，，且当时，．

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列；

(3)求数列{an}的通项公式．

13.已知公差不为0的等差数列{an}的首项为，且成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对，试比较与的大小．

14.已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足

（1）求a1及通项公式an；

（2）若bn=(-1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

15.在公差不为0等差数列的{an}中，已知，且，，成等比数列.

（1）求；

（2）设，求数列{bn}的前项和.

答案解析

16.解:

17.解：

18.解：(1)∵S4=28，∴=28，

∴a1＋a4=14，则a2＋a3=14，

又a2·a3=45，公差d＞0，

∴a2＜a3，a2=5，a3=9，

∴解得∴an=4n－3.

(2)由(1)知Sn=2n2－n，∴bn==，

∴b1=，b2=，b3=.

又{bn}是等差数列，∴b1＋b3=2b2，

即2×=＋，解得c=－(c=0舍去).

19.解：(I)设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，a4=16．∴16=2q3，解得q=2．∴an=2n．

(II)设等差数列{bn}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25=32．

∴b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=﹣16，d=12，∴bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28．

20.解：(1)证明：由题意得a1=S1=1＋λa1，故λ≠1，a1=，故a1≠0.

由Sn=1＋λan，Sn＋1=1＋λan＋1得an＋1=λan＋1-λan，即an＋1(λ-1)=λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以=.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an=n-1.

(2)由(1)得Sn=1-n.由S5=得1-5=，即5=.解得λ=-1.

21.解：

(1)∵anbn=n·2n，

∴⇒解得a1=2，b1=1，

∴an=2＋2(n－1)=2n，bn=2n－1．

(2)∵an=2n，bn=2n－1，

∴cn===－，

∴Tn=c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn

=1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－

=1＋－－

=－＋<，

∴Tn<．

22.解：

(1)设{an}的公比为q，由S4-S3=a4，得2a4-2a3=a4，所以=2，所以q=2．

又因为S3=2a3-1，所以a1＋2a1＋4a1=8a1-1，所以a1=1．所以an=2n-1．

(2)由(1)知，Sn==2n-1，

所以bn=log =2log224-n=8-2n，bn＋1-bn=-2，b1=8-2=6，

所以数列{bn}是首项为6，公差为-2的等差数列，

所以b2=4，b3=2，b4=0，当n>5时bn<0，

所以当n=3或n=4时，b1＋b2＋…＋bn的最大值为12．

23.解：

(1)证明：由an＋1=，得==＋，所以－=.

又a1=1，则=1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

(2)设bn=－=，

由(1)得，数列是公差为的等差数列，

所以－=－，即bn==－×，

所以bn＋1－bn=－=－×=－.

又b1=－×=－×=－，

所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，

所以T2n=b1＋b2＋…＋bn=－n＋×=－(2n2＋3n)．

24.解：

(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则

解得

所以数列{an}的通项公式为an=2n＋33(n∈N*)．

(2)由(1)知，|an-2n|=|2n＋33-2n|=

当1≤n≤5时，Tn=-=n2＋34n-2n＋1＋2；

当n≥6时，T5=133，|2n＋33-2n|=2n-(2n＋33)，

Tn-T5=-=2n＋1-n2-34n＋131，

∴Tn=2n＋1-n2-34n＋264．

综上所述，Tn=

25.

26.解：

27.（1）；（2）证明见解析；（3）．

28.

29.

解：

30.