2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》五(含答案)

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2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》五1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an＋1=3Sn＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn为数列{n＋an}的前n项和，求Tn.             2.已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.           3.在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=2an，Tn=b1＋b2＋…＋bn，求Tn.             4.已知{an}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{an}的部分项...恰为等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17．(1)求数列{an}的通项公式an(用a表示)；(2)设数列{kn}的前n项和为Sn，求证：(n是正整数)．        5.已知等差数列{an}的公差为2，且， ， 成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证： .           6.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，若数列{bn}前n项和Tn，证明.          7.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70且a1，a2，a6成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，求数列{}前的n项和Tn．            8.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3=12，b3=a4－2a1，S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．              9.已知数列{an}是等差数列，a2=6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2=2，a1b3=12，S3＋b1=19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.           10.已知数列{an}是公比不为的等比数列，a1=1，且成等差数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;  （Ⅱ）若数列{an}的前n项和为，试求的最大值.        11.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2＋4，数列{bn}中，bn=.(1)求公差d的值；(2)若a1=－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．          12.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．           13.知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，数列{bn}为等差数列，且满足b2=a1,b8=a3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．        14.设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.        15.已知等差数列的前n 项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n 项和.   
答案解析16.解：(1)由an＋1=3Sn＋1，得当n≥2时，an=3Sn－1＋1，两式相减，得an＋1=4an(n≥2)．又a1=1，a2=4，=4，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{an}的通项公式是an=4n－1(n∈N*)．(2)Tn=(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)=(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)=＋=＋.  17.解: 18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有解得d=1或d=0(舍去)，∴an=1＋(n－1)=n.(2)由(1)得an=n，∴bn=2n，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Tn==2n＋1－2. 19.  20.解：   21.解：22.解： 23.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3=12，得b1(q＋q2)=12，而b1=2，所以q2＋q－6=0.又因为q＞0，解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4－2a1，可得3d－a1=8.①由S11=11b4，可得a1＋5d=16.②由①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n－2.所以数列{an}的通项公式为an=3n－2，数列{bn}的通项公式为bn=2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n=6n－2，b2n－1=2×4n－1，得a2nb2n－1=(3n－1)×4n，故Tn=2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn=2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn=2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1=－4－(3n－1)×4n＋1=－(3n－2)×4n＋1－8.故Tn=×4n＋1＋.所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.  24.解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2=6，∴S3＋b1=3a2＋b1=18＋b1=19，∴b1=1，∵b2=2，数列{bn}是等比数列，∴bn=2n-1.∴b3=4，∵a1b3=12，∴a1=3，∵a2=6，数列{an}是等差数列，∴an=3n.(2)设Cn=bncos(anπ)，由(1)得Cn=bncos(anπ)=(-1)n2n-1，则Cn＋1=(-1)n＋12n，∴=-2，又C1=-1，∴数列{bncos(anπ)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列．∴Tn==[(-2)n-1]．  25.       26.解：(1)∵S4=2S2＋4，∴4a1＋d=2(2a1＋d)＋4，解得d=1.(2)∵a1=－，∴数列{an}的通项公式为an=－＋(n－1)=n－，∴bn=1＋=1＋.∵函数f(x)=1＋在和上分别是单调减函数，∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=－1.(3)由bn=1＋，得bn=1＋.又函数f(x)=1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；当x＞1－a1时，y＞1.∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，∴a1的取值范围是(－7，－6)．  27. 28.解： 29.         30.