高考真题汇编——理科数学（解析版）11：计数原理与二项式定理

高考真题分类汇编：计数原理与二项式

1.【高考真题重庆理4】的展开式中常数项为

A.     B.    C.    D.105

【答案】B

【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，选B

2.【高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A.60种  　　　B.63种  　　　C.65种   　　D.66种

 【答案】D

【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即种方法；第三类是取四个奇数，即故有5+60+1=66种方法。故选D。

3.【高考真题新课标理2】将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（      ）

 种           种        种     种

【答案】A

【解析】先安排老师有种方法，在安排学生有，所以共有12种安排方案，选A.

4.【高考真题四川理1】的展开式中的系数是（    ）

A、               B、               C、              D、

【答案】D

【解析】由二项式定理得，所以的系数为21，选D.

5.【高考真题四川理11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（    ）

A、60条             B、62条             C、71条             D、80条

 【答案】B

【解析】本题可用排除法，，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又和时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.

6.【高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（     ）

A. 10种       B.15种       C. 20种       D. 30种

【答案】C.

【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.

7.【高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为

（A）232           (B)252          (C)472           (D)484

【答案】C

【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有种，若2色相同，则有；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有种，如同色则有，所以共有，故选C。

8.【高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为

(A)3×3！      (B) 3×(3！)3         (C)(3！)4       (D) 9！

【答案】C

【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为，答案为C

【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

9.【高考真题湖北理5】设，且，若能被13整除，则

A．0               B．1             

C．11                D．12

【答案】D

【解析】由于

51=52-1，,

又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.

10.【高考真题北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(      )

A. 24         B. 18         C. 12         D. 6

【答案】B

【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。

11.【高考真题安徽理7】的展开式的常数项是（     ）

                                  [

【答案】D

【命题立意】本题考查二项式定理的内容。

【解析】第一个因式取，第二个因式取 得：，

第一个因式取，第二个因式取得：  展开式的常数项是．

12.【高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（     ）

 或    或        或       或

【答案】D

【命题立意】本题考查等排列组合的运算问题。

【解析】．

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人，

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人．

循环不满足条件输出，选C.

13.【高考真题天津理5】在的二项展开式中，的系数为

（A）10                        （B）-10

    （C）40                        （D）-40

【答案】D

【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为，选D.

14.【高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

【答案】A

【解析】第一步先排第一列有，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有种，选A.

15【高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为       （用数字作答）.

 【答案】

【解析】6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

16.【高考真题浙江理14】若将函数表示为， 其中，，，…，为实数，则＝______________．

 【答案】10

【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．

即：．

法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．

17.【高考真题陕西理12】展开式中的系数为10， 则实数的值为          .

【答案】1．

【解析】根据公式得，含有的项为，所以.

18.【高考真题上海理5】在的二项展开式中，常数项等于           。

【答案】

【解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。

19.【高考真题广东理10】的展开式中x³的系数为______．（用数字作答）

 【答案】20

【解析】，令得，所以．

20.【高考真题湖南理13】( -)6的二项展开式中的常数项为     .（用数字作答）

【答案】-160

【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.

【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

21.【高考真题福建理11】（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________.

【答案】2．

 【解析】根据公式得，含有的项为，所以.

22.【高考真题全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.

【答案】

【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即，所以，所以展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为.