2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

这是一份2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是　　

A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是　　
A．3.6 B．3.8或3.2 C．3.6或3.4 D．3.6或3.2
5．（3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．且
6．（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是　　

A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　
A． B．且 C． 且 D．且
8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　

A．4 B．8 C． D．6
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买、、三种奖品，种每个10元，种每个20元，种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案　　
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
10．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②的周长为；
③；
④的面积的最大值是；
⑤当时，是线段的中点．
其中正确的结论是　　

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为　　．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．
13．（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　　，使和全等．

14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　　．
15．（3分）若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则的取值范围是　　．
16．（3分）如图，是的外接圆的直径，若，则　　．

17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　　．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为　　．

19．（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为　　．
20．（3分）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　　．

三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）将向左平移5个单位得到△，并写出点的坐标；
（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△在旋转过程中扫过的面积（结果保留．

23．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．

24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是　　．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段　　；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．


2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是　　

A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；
第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；
所以最多有：（个．
故选：．
4．（3分）一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是　　
A．3.6 B．3.8或3.2 C．3.6或3.4 D．3.6或3.2
【解答】解：从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，
或，
当时，这组数据的平均数为；
当时，这组数据的平均数为；
即这组数据的平均数为3.4或3.6，
故选：．
5．（3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．且
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
△，
解得：．
故选：．
6．（3分）如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是　　

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
点，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
点的坐标为，，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：．
7．（3分）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　
A． B．且 C． 且 D．且
【解答】解：分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且．
故选：．
8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　　

A．4 B．8 C． D．6
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
；
故选：．
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买、、三种奖品，种每个10元，种每个20元，种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案　　
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【解答】解：设购买种奖品个，购买种奖品个，
当种奖品个数为1个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，2，3，4，5，6，7，8；
当种奖品个数为2个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，2，3，4，5，6；
有种购买方案．
故选：．
10．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②的周长为；
③；
④的面积的最大值是；
⑤当时，是线段的中点．
其中正确的结论是　　

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【解答】解：如图1中，在上截取，连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长到，使得，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
，故③错误，
的周长，故②错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为．故④正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故⑤正确，
故选：．


二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为　　．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
13．（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　或或等）　，使和全等．

【解答】解：添加的条件是：，
理由是：在和中
，
，
故答案为：．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　　．
【解答】解：画树状图如图所示：

共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为，
故答案为：．
15．（3分）若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则的取值范围是　　．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有2个整数解，
不等式组的整数解为2、3，
则，
解得，
故答案为：．
16．（3分）如图，是的外接圆的直径，若，则　50　．

【解答】解：连接，如图，
为的外接圆的直径，
，
，
．
故答案为50．

17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　．
【解答】解：，
，解得，
设圆锥的底面半径为，
，
．
故答案为：10．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为　　．

【解答】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．

四边形是正方形，
，，，
，
，
，关于对称，
，，
，
，
，，共线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值为．
19．（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为　或　．
【解答】解：分两种情况：
①当点落在边上时，如图1所示：

四边形是矩形，
，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，
是等腰直角三角形，
，；
②当点落在边上时，如图2所示：

四边形是矩形，
，，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，，，
，，
在和△中，，，
△，
，即，
解得：，或（舍去），
，
；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
20．（3分）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标　，　．

【解答】解：点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，

由上可知，，
当时，．
故答案为：，．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式

，
当时，
原式

．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）将向左平移5个单位得到△，并写出点的坐标；
（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△在旋转过程中扫过的面积（结果保留．

【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，点的坐标为；

（2）如图所示，△即为所求，点的坐标为；

（3）如图，
，
△在旋转过程中扫过的面积为：．

23．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）根据题意得，
解得．
故抛物线的解析式为；
（2）二次函数的对称轴是，
当时，，
则，
点关于对称轴的对应点，
设直线的解析式为，
则，
解得．
则直线的解析式为，
设与平行的直线的解析式为，
则，
解得．
则与平行的直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，（舍去）．
．
综上所述，，．

24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，
，
超过全校的平均次数；

（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为，所以中位数一定在范围内；

（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：（人，
故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的解析式为；

（2）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为；
设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为，
解方程组得，
同理可得，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间，；

（3），
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为．
26．（8分）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是　　．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【解答】解：（1）如图①中，

，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为．

（2）如图②中，结论仍然成立．

理由：连接，延长交于点．
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，




，
，
、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）依题意，得：，
解得：．
又为正整数，
可以为58，59，60，
共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
（3）购买方案1的总利润为（元；
购买方案2的总利润为（元；
购买方案3的总利润为（元．
，
利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：，
解得：．
答：的最大值为．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段　　；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）长是的根，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
故答案为：．
（2）如图，过点作于，

，
，
，
，，
，
当时，的面积；
当时，点与点重合，，
当时，的面积；
（3）如图，过点作于，

当时，
，
，
或，
或，
当时，
，，
，，
点，，
当时，
同理可求点，，
当时，
，
，
或24（不合题意舍去），
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，．