2020年山东省聊城市中考数学试卷

2020年山东省聊城市中考数学试卷

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（3分）在实数，，0，中，最小的实数是　　

A． B． C．0 D．

2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是　　

A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分

6．（3分）计算的结果正确的是　　

A．1 B． C．5 D．9

7．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为　　

A． B． C． D．

8．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为　　

A． B． C． D．

11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是　　

A．150 B．200 C．355 D．505

12．（3分）如图，在中，，，将绕点旋转得到△，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）

13．（3分）因式分解：　　．

14．（3分）如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是　　．

15．（3分）计算：　　．

16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　　．

17．（3分）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　．

三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．

19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： “剪纸”、 “沙画”、 “葫芦雕刻”、 “泥塑”、 “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为　　；统计图中的　　，　　；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．

20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．

21．（8分）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量，先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为，居民楼的顶端的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到．（参考数据：，，．

23．（8分）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

（1）求出直线的表达式；

（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．

24．（10分）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．

（1）试证明是的切线；

（2）若的半径为5，，求此时的长．

25．（12分）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．

（1）求出二次函数和所在直线的表达式；

（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；

（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

2020年山东省聊城市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（3分）在实数，，0，中，最小的实数是　　

A． B． C．0 D．

【解答】解：，

，

实数，，0，中，．

故4个实数中最小的实数是：．

故选：．

2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，

故选：．

3．（3分）如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

，

；

故选：．

4．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，原计算错误，故此选项不合题意；

、，原计算错误，故此选项不合题意；

、，原计算正确，故此选项合题意；

、，原计算错误，故此选项不合题意．

故选：．

5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是　　

A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分

【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，

所以全班30名同学的成绩的中位数是：；

96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，

所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．

故选：．

6．（3分）计算的结果正确的是　　

A．1 B． C．5 D．9

【解答】解：原式

．

故选：．

7．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，过点作于．

在中，，，

，

，

故选：．

8．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由原方程，得

，

，

，

故选：．

9．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，，

，，

，，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

图中阴影部分的面积，

故选：．

10．（3分）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设底面半径为，则，

解得：，

所以其高为：，

故选：．

11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是　　

A．150 B．200 C．355 D．505

【解答】解：由图形可知图的地砖有块，

当时，．

故选：．

12．（3分）如图，在中，，，将绕点旋转得到△，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，

，，

将绕点旋转得到△，使点的对应点落在上，

，，

，

延长交于，

，

，

，，

，

，

过作于，

，

故选：．

二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）

13．（3分）因式分解：　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

14．（3分）如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是　　．

【解答】解：四边形内接于，

，

四边形为菱形，

，

，

，

，

，

故答案为．

15．（3分）计算：　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　　．

【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，

所以抽到同一类书籍的概率为，

故答案为：．

17．（3分）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为　　．

【解答】解：点，点的纵坐标为1，

轴，

，

，

，

，

，

，

作关于轴的对称点，

连接交轴于，

则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，

过作交的延长线于，

则，，

，

最小周长的值，

故答案为：．

三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．

【解答】解：，

解不等式①，，

解不等式②，得，

原不等式组的解集为，

它的所有整数解为0，1，2．

19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： “剪纸”、 “沙画”、 “葫芦雕刻”、 “泥塑”、 “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为　120　；统计图中的　　，　　；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．

【解答】解：（1）（人，因此样本容量为120；

（人，（人，

故答案为：120，12，36；

（2）组频数：（人，

补全条形统计图如图所示：

（3）（人，

答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．

20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．

【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意列，得：

，

解这个方程，得，

经检验，是原分式方程的解，并符合题意，

答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；

（2）由（1）可知种树苗每棵的价格为：（元，种树苗每棵的价格为：（元，

设购进种树苗棵，这批树苗的费用为元，则：

，

是的一次函数，，

随的增大而减小，

又，

当棵时，最小，

此时，种树苗每棵有：（棵，，

答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．

21．（8分）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

【解答】证明：四边形是平行四边形，

，，

，，

为的中点，

，

，

．

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形．

22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量，先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为，居民楼的顶端的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到．（参考数据：，，．

【解答】解：过点作交于点，交于点，

则，

，

，

，，

则，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

．

答：居民楼的高度约为30米．

23．（8分）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

（1）求出直线的表达式；

（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．

【解答】解：（1）将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，

故反比例函数表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，故点，

将点、的坐标代入一次函数表达式得，解得，

故直线的表达式为：；

（2）设直线与轴的交点为，当时，，故点，

分别过点、作轴的垂线、，垂足分别为、，

则，解得：，

故点的坐标为或．

24．（10分）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．

（1）试证明是的切线；

（2）若的半径为5，，求此时的长．

【解答】（1）证明：连接、，

是直径，

，

，

，

为中点，

，

，

，

，

为半径，

是的切线；

（2）由（1）知是的中线，

，

的半径为5，

，

，

，

，

，

，

，即，

．

25．（12分）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．

（1）求出二次函数和所在直线的表达式；

（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；

（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点，，代入，

得：，

解得：，

二次函数的表达式为：，

当时，，

，

设所在直线的表达式为：，

将、代入，

得：，

解得：，

所在直线的表达式为：；

（2）轴，轴，

，

只要，四边形即为平行四边形，

，

点的坐标为：，，

将代入，即，

点的坐标为：，，

，

设点的横坐标为，

则的坐标为：，的坐标为：，

，

由得：，

解得：（不合题意舍去），，

当时，，

点的坐标为，；

（3）存在，理由如下：

如图2所示：

由（2）得：，

，

又与有共同的顶点，且在的内部，

，

只有时，，

，

、，，

，

由（2）得：，，的坐标为：，

，

，

，

，

解得：，

当时，，

点的坐标为：，．