2020年山东省菏泽市中考数学试卷

2020年山东省菏泽市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）

1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是　　

A． B． C． D．

2．（3分）函数的自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

3．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为　　

A． B． C． D．

4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为　　

A． B． C． D．

5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是　　

A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分

6．（3分）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于　　

A． B． C． D．

7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　

A．3 B．4 C．3或4 D．7

8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）

9．（3分）计算的结果是　　．

10．（3分）方程的解是　　．

11．（3分）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为　　．

12．（3分）从，2，，4这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　　．

13．（3分）如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为　　．

14．（3分）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为　　．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）

15．计算：．

16．先化简，再求值：，其中满足．

17．如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．

18．某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了52米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为72米，求大楼的高度．

（参考数据：，，

19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在组的有多少人？

（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？

（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在组的学生有多少人？

20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是4，求点的坐标．

21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

22．如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作的切线交于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为5，，求的长．

23．如图1，四边形的对角线，相交于点，，．

（1）过点作交于点，求证：；

（2）如图2，将沿翻折得到．

①求证：；

②若，求证：．

24．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；

（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年山东省菏泽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）

1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

绝对值最小的数是．

故选：．

2．（3分）函数的自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【解答】解：由题意得且，

解得且．

故选：．

3．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：将点向右平移3个单位得到点，

点的坐标是，

点关于轴的对称点的坐标是．

故选：．

4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为　　

A． B． C． D．

【解答】解：从正面看所得到的图形为．

故选：．

5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是　　

A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分

【解答】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．

故选：．

6．（3分）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

，

．

故选：．

7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　

A．3 B．4 C．3或4 D．7

【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：，

解得：；

当3为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，

△，

解得：，此时两腰之和为4，，符合题意．

的值为3或4．

故选：．

8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；

、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；

、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；

、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）

9．（3分）计算的结果是　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

10．（3分）方程的解是　　．

【解答】解：方程，

去分母得：，

整理得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

故答案为：．

11．（3分）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为　　．

【解答】解：过点作，垂足为，

，，

，

又点为边的中点，

，

在中，，

故答案为：．

12．（3分）从，2，，4这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　　．

【解答】解：画树状图得：

则共有12种等可能的结果，

反比例函数中，图象在二、四象限，

，

有8种符合条件的结果，

（图象在二、四象限），

故答案为：．

13．（3分）如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：连接，

四边形为菱形，

，

，

，

为等边三角形，

，

是的切线，

，

，

同理可知，为等边三角形，

，

图中阴影部分的面积，

故答案为：．

14．（3分）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为　　．

【解答】解：矩形中，，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得

．

故答案为：．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）

15．计算：．

【解答】解：原式

．

16．先化简，再求值：，其中满足．

【解答】解：原式

，

，

，

则原式．

17．如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．

【解答】证明：，

，，，

，

，，

．

18．某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了52米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为72米，求大楼的高度．

（参考数据：，，

【解答】解：如图，过点作于点，于点，

，

四边形是矩形，

，，

在中，，

设，，

根据勾股定理，得

，

，

解得，

，

，

，

在中，，

（米．

答：大楼的高度约为52米．

19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在组的有多少人？

（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？

（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在组的学生有多少人？

【解答】解：（1）本次抽取的学生有：（人，

组学生有：（人，

即被抽取的学生成绩在组的有24人；

（2）所抽取学生成绩的中位数落在这一组内；

（3）（人，

答：这次竞赛成绩在组的学生有150人．

20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是4，求点的坐标．

【解答】解：（1）将点代入，得：，

，

当时，，

，

将、代入，

得：，

解得，

；

一次函数解析式为，反比例函数解析式为；

（2）在中，当时，，

解得，

，

设，

则，

，

，

解得或，

点的坐标为或．

21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，

依题意，得：，

解得：．

答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．

（2）设购买根跳绳，则购买个毽子，

依题意，得：，

解得：．

又为正整数，

可以为21，22．

共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．

22．如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作的切线交于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为5，，求的长．

【解答】（1）证明：连接、．

是圆的直径，

．

．

是圆的切线，

．

．

．

，

．

．

，，

．

，

．

．

．

（2）解：，，

，

的半径为5，，

，，

，

，

．

23．如图1，四边形的对角线，相交于点，，．

（1）过点作交于点，求证：；

（2）如图2，将沿翻折得到．

①求证：；

②若，求证：．

【解答】（1）证明：，

，，

又，

，

，，

，，

，

；

（2）①证明：如图1，过点作交于点，

由（1）可知，，

，

将沿翻折得到，

，

，

，

又

．

②证明：如图2，过点作交于点，延长交于点，

，，

四边形为平行四边形．

，

将沿翻折得到．

，

，

又，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

24．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；

（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），，

，，

把，代入抛物线中得：，

抛物线的解析式为：；

（2）如图1，过作轴于，交于，

当时，，

，

设的解析式为：，

则，解得：，

的解析式为：，

设，则，

，

的面积是，

，

，

解得：或3，

点在直线右侧的抛物线上，

，

的面积；

（3）分两种情况：

①如图2，在轴的上方时，四边形是平行四边形，

，，且在轴上，

的纵坐标为，

当时，即，

解得：或，

，或，；

②如图3，点在轴的下方时，四边形是平行四边形，此时与重合，

；

综上，点的坐标为：，或，或．