2020年四川省乐山市中考数学试卷

2020年四川省乐山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1．（3分）的倒数是　　

A． B． C． D．2

2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为　　

A．1100 B．1000 C．900 D．110

3．（3分）如图，是直线上一点，，射线平分，．则　　

A． B． C． D．

4．（3分）数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移7个单位长度得到点．则点表示的数是　　

A．4 B．或10 C． D．4或

5．（3分）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　

A． B． C． D．8

6．（3分）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是　　

A． B． 

C． D．

8．（3分）已知，．若，则的值为　　

A．8 B．4 C． D．

9．（3分）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到△．则图中阴影部分面积为　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长1的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为2，则的值为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11．（3分）用“”或“”符号填空：　　．

12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　　．

13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为．则自动扶梯的垂直高度　　．（结果保留根号）

14．（3分）已知，且．则的值是　　．

15．（3分）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则　　．

16．（3分）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：

（1）当时，的取值范围是　　；

（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是　　．

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．

17．（9分）计算：．

18．（9分）解二元一次方程组：

19．（9分）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）已知，且，求的值．

21．（10分）如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．

（1）求直线的解析式；

（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．

22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　　万人，扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为　　；

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．

23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？

（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？

24．（10分）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．

（1）求证：点平分；

（2）如图2所示，延长至点，使，连结．若点是线段的中点．求证：是的切线．

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．

25．（12分）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．

（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　；

（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

26．（13分）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；

②连结，求的最小值．

2020年四川省乐山市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1．（3分）的倒数是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：根据倒数的定义，可知的倒数是2．

故选：．

2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为　　

A．1100 B．1000 C．900 D．110

【解答】解：（人，

故选：．

3．（3分）如图，是直线上一点，，射线平分，．则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

射线平分，

，

，

故选：．

4．（3分）数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移7个单位长度得到点．则点表示的数是　　

A．4 B．或10 C． D．4或

【解答】解：点表示的数是，左移7个单位，得，

点表示的数是，右移7个单位，得．

所以点表示的数是4或．

故选：．

5．（3分）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　

A． B． C． D．8

【解答】解：四边形为菱形，

，，

，

，

是对角线的中点，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

四边形的周长．

故选：．

6．（3分）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点，

，解得

直线为，

当时，，解得，

由图象可知：不等式的解集是，

故选：．

7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意，选项阴影部分面积为6，，，的阴影部分的面积为5，

如果能拼成正方形，选项的正方形的边长为，选项，，的正方形的边长为，

观察图象可知，选项，，阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为的正方形，

故选：．

8．（3分）已知，．若，则的值为　　

A．8 B．4 C． D．

【解答】解：，．

，

，

又，

，

，

．

故选：．

9．（3分）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到△．则图中阴影部分面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

，，

，

故选：．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长1的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为2，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点是的中点，则是的中位线，

当、、三点共线时，最大，则最大，

而的最大值为2，故的最大值为4，

则，

设点，则，

解得：，

，

故选：．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11．（3分）用“”或“”符号填空：　　．

【解答】解：，，，

，

故答案为：．

12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　39　．

【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，

其中第四个数据为39，

所以这组数据的中位数为39．

故答案为39．

13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为．则自动扶梯的垂直高度　　．（结果保留根号）

【解答】解：，，，

，

，

，

在中，，

，

，

答：自动扶梯的垂直高度，

故答案为：．

14．（3分）已知，且．则的值是　4或　．

【解答】解：，即，

可得或，

或，

即的值是4或；

故答案为：4或．

15．（3分）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则　　．

【解答】解：连接，，，是的中点，

，，

，，

，，

，

，

，

，

故答案为．

16．（3分）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：

（1）当时，的取值范围是　　；

（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是　　．

【解答】解：（1）由题意，

，

故答案为．

（2）由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象下方，

则有时，，解得，

或时，，解得，

故答案为或．

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．

17．（9分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（9分）解二元一次方程组：

【解答】解：，

法1：②①，得，

解得：，

把代入①，得，

原方程组的解为；

法2：由②得：，

把①代入上式，

解得：，

把代入①，得，

原方程组的解为．

19．（9分）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．

【解答】解：四边形是矩形，

，．

，

．

，

，．

又，

，

，

，即，

，即的长度为．

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）已知，且，求的值．

【解答】解：原式

，

，

原式

解法2：同解法1，得原式，

，

，

原式．

21．（10分）如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．

（1）求直线的解析式；

（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．

【解答】解：（1）将点代入，得，

即，

将代入，得，

即，

设直线的解析式为，

将、代入，得，解得，

直线的解析式为；

（2）、，

，

，

．

22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　20　万人，扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为　　；

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．

【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为（万人），

扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为，

故答案为：20、72；

（2）岁人数为（万人），

补全的折线统计图如图2所示；

（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：；

（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：．

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．

23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？

（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？

【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元，

由题意得：，

解得  ，

答：租用一辆轿车的租金为240元；

（2）①若只租用商务车，

，

只租用商务车应租6辆，所付租金为（元；

②若只租用轿车，

，

只租用轿车应租9辆，所付租金为（元；

③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．

由题意，得  ，

由，得，

，

，

，

，且为整数，

随的增大而减小，

当时，有最小值1740，此时．

综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．

24．（10分）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．

（1）求证：点平分；

（2）如图2所示，延长至点，使，连结．若点是线段的中点．求证：是的切线．

【解答】证明：（1）如图1，连接、，

是半圆的直径，

，

，

，

又，即点是的斜边的中点，

，

，

又，

，

，

即点平分；

（2）如图2所示，连接、，

点是线段的中点，

，

，

是等边三角形，

，

是直角三角形，且，

是的切线．

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．

25．（12分）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．

（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　；

（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

【解答】解：（1）四边形是平行四边形，

，

又，，

，

，

故答案为：；

（2）补全图形如图所示，

结论仍然成立，

理由如下：

延长交于点，

，，

，

，

点为的中点，

，

又，

，

，

，

；

（4）点在线段的延长线上运动时，线段、、之间的关系为，

证明如下：如图，延长交的延长线于点，

由（2）可知，

，，

又，，

，

．

26．（13分）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；

②连结，求的最小值．

【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，

抛物线的对称轴为直线，

，

又，

，

即，

代入抛物线的解析式，得，

解得，

二次函数的解析式为；

（2）①设，其中，

设直线的解析式为，

，

解得 

即直线的解析式为，

令，得：，

点，，

把 代入，得，

即，

，

的面积，

当时，的面积最大，且最大值为；

②如图，连接，根据图形的对称性可知，，

，

过点作于，则在中，，

，

过点作于点，则，

线段的长就是的最小值，

，

又，

，

即，

的最小值为．