2020年四川省宜宾市中考数学试题

宜宾市2020年初中学业水平即高中阶段学校招生考试

数学

一、选择题

1.6的相反数为　　

A. -6 B. 6 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数的定义进行求解.

【详解】6的相反数为：﹣6．故选A.

【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.

2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度是7100米/秒，将7100用科学记数法表示为（  ）

A. 7100 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】7100＝．

故选：D．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.如图所示，圆柱的主视图是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．

【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，
故选：B．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4.计算正确的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对每个选项进行计算判断即可．

【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，选项错误；

B. ，选项错误；

C. ，选项正确；

D. ，选项错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．

5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案．

【详解】解：，

由①得，，

由②得，，

∴不等式组的解集为，

故选：A．

【点睛】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键．

6.7名学生鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（   ）

A. 20，21 B. 21，22 C. 22，22 D. 22，23

【答案】C

【解析】

【分析】

根据中位数和众数的定义进行求解即可．

【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；
数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．
故选：C．

【点睛】本题考查了众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是出现次数最多的数据．

7.如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值．

【详解】解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，

∴MN∥BC，

∴∠ANM=∠C，

∵，

∴，

又∵

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．

8.学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．

【详解】设文学类图书平均每本x元，依题意可得

故选B．

【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．

9.如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（   ）    

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到AC⊥BC，得到cosB=,代入即可求出AB，故可求出的周长．

【详解】∵，，

∴BC=

∵AB是的直径，

∴AC⊥BC，

∴cosB=

即

解得AB=

∴的周长为

故选A．

【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用．

10.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（   ）

A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种

【答案】B

【解析】

【分析】

设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．

【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个

由题意得：，解得4≤x≤6

则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．

故答案为B．

【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键．

11.如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（  ） 

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等边三角形 D. 不等边三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；

【详解】∵都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴是等边三角形．

故答案选C．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．

12.函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（  ） 

①；

②函数在处的函数值相等；

③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；

④函数在内既有最大值又有最小值．

A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．

【详解】如图，根据题意作图，

故a＜0，b＜0，c＞0

∴，①正确；

∵对称轴为x=-1

∴函数在处的函数值相等，故②错误；

图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；

当时，x=-1时，函数有最大值

x=3时，函数有最小值，故④正确；

故选C．

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．

二、填空题

13.分解因式：________________．

【答案】.

【解析】

【分析】

首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．

【详解】==．

故答案为．

14.如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________．

【答案】

【解析】

【分析】

由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．

【详解】解：∵△OBC是等边三角形

∴∠COB=60°

∴∠A==30°

∴=．

故答案为．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键．

15.一元二次方程的两根为，则________________

【答案】

【解析】

【分析】

根据根与系数关系表示出和即可；

【详解】∵，

∴，，，

∴，，

∴，

=，

=．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．

16.如图，四边形中，是AB上一动点，则的最小值是________________

【答案】

【解析】

【分析】

作C点关于AB对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，作C’E⊥DA的延长线于点E，根据勾股定理即可求解．

【详解】如图，作C点关于AB的对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，

作C’E⊥DA的延长线于点E，

∴四边形ABC’E是矩形

∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,

∴C’D=

故答案为：．

【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用．

17.定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：例如，的连分数是，记作，则________________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据连分数的定义即可求解．

【详解】依题意可设a

∴a=

故答案为：．

【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解．

18.在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．

【答案】

【解析】

【分析】

过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．

【详解】过E点作EG⊥AB于G点，

∵BE平分

∴CE=EG,

设CE=EG=x,

∵,

∴AB=

∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，

故

即

解得x=3

∴CE=3,

延长CD交过B作BF⊥BC于F，

∵D是AB中点

∴AD=BD

又AC∥BF

∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF

∴△ACD≌△BFD，

∴BF=AC=8,

∵AC∥BF

∴△CEO∽△FBO，

∴

∴EO=BE=×=，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．

三、解答题

19.（1）计算：

（2）化简：

【答案】（1）1；（2）2

【解析】

【分析】

（1）运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可；

（2）先算括号里面的，然后进行分式乘除运算即可；

【详解】（1）原式=4-1-3+1，

=1．

（2）原式= ，

，

，

=2．

【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简，计算准确是解题的关键．

20.如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．

（1）求证：

（2）若的面积为5，求的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）10．

【解析】

【分析】

（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；

（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．

【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，

∴BD=CD

在△ABD和△CED中，

所以；

(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点

∴

∵

．

答：三角形ACE的面积为10．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．

21.在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．

（1）本次受调查的学生有________人；

（2）补全条形统计图；

（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生与任课教师线辅导？

【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900

【解析】

【分析】

（1）根据A得占比和人数已知可得结果；

（2）算出C的人数，然后补全条形统计图；

（3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可；

【详解】（1）由题可知受调查人数，

故答案为60．

（2）补全图形如图：C的人数=，

（3）学生数为

答：在线辅导的有900人．

【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键．

22.如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．

（1）求的大小；

（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）75°；（2）

【解析】

【分析】

（1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答；

（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．

【详解】（1）如图：过点A作于点E，

∵在Rt△ABC中，

∵AE//BC

；

(2)∵RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45°

∴DE=AE=

∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°

∴CE=tan30°·AE=30

．

【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．

23.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点P．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求四边形ABOC的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）将点B(-1，-3)代入，可得反比例函数解析式，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解；

（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据关系式可求解；

【详解】解：（1）将点B(-1，-3)代入，

解得

所以反比例函数的表达式为；

将点A(-3，n)代入有，n=-1

将A，B代入得

解得

所以一次函数表达式为；

（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，

答：四边形的面积为．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键．

24.如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可；

（2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明，可得，即可求出DE．

【详解】（1）证明：因为AB是圆O的直径，

所以，

，

，

所以点C是BD的中点，

所以AB=AD，

所以三角形ABD是等腰三角形．

（2）因为三角形ABD是等腰三角形，

，

，

，

因为BF是切线，

所以，

因为AB是直径，

所以，

，

，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键．

25.如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点

（1）求二次函数的表达式；

（2）P为平面内一点，当时等边三角形时，求点P的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线相切，若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．

【解析】

【分析】

（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为，然后将（2，1）代入求得a即可；

（2）将y=1代入解得，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；

（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)

【详解】解：（1）∵二次函数的顶点是原点

∴设二次函数的解析式为，

将（2，1）代入，

解得

所以二次函数的解析式为；

（2）如图：将y=1代入，得，解得

是等边三角形

∴点P在y轴上且PM=4

∴

或；

（3）假设在二次函数的图像上存在点E满足条件

设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)

∴点E在FN的垂直平分线上

∴点E是FN的垂直平分线x=1与的图像的交点，即

，

∴

∴点E到直线y=-1的距离为

∴在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键．