初中16.1 二次根式教学设计及反思

二次根式复习课教学设计

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

考查题型

二次根式

知识回顾：

形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。

知识特点：

1、被开放数a是一个非负数；

2、二次根式是一个非负数，即≥0；

3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.

考查题型

例1、若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 

A.x>-5  B.x<-5  C.x≠-5  D.x≥-5    (08常州市)

分析：在这里二次根式的被开方数是x+5，要想使式子在实数范围内有意义,

必须满足条件：x+5≥0，所以，x≥-5，因此，选项D是正确的。

解：选D。

例2、若，则        ．（08年遵义市）

分析：

因为，|a-2|和都是非负数，并且它们的和是0，

所以，|a-2|=0且=0，所以，a=2，b=3，

所以，a2-b=4-3=1.

例3、若实数满足，则xy的值是          ．(08年宁波市)

分析：

因为，和都是非负数，并且它们的和是0，

所以，=0且=0，所以，x=-2，y=，

所以，xy=-2.

二次根式的化简与计算

知识回顾：

二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

知识特点：

二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）；

二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)；

二次根式的除法运算：÷= ，( a≥0, b＞0)；

二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)；

二次根式的开方运算：=

考查题型

例4下列计算正确的是（    ）

A．  B．  

C．   D．（08年聊城市）

分析：这就是二次根式化简的综合题目，2与4的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A是错误的；

因为，，所以，B 也是错误的；

因为，÷=，所以，C是正确的；

根据二次根式的开方公式，得到D是错误的。

解：选C。

最简二次根式

知识回顾：

满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

知识特点：

1、最简二次根式中一定不含有分母；

2、对于数或者代数式，它们不能在写成an×m的形式。

考查题型

例5、下列根式中属最简二次根式的是（　　）

A.       B.        C.      D. （08年湖北省荆州市）

分析：

因为B中含有分母，所以B不是最简二次根式；

而8=22×2，27=32×3，所以，选项C、D都不是最简二次根式。

所以，只有选项A是正确的。

解：选A。

  二次根式的定义

    例1  函数的自变量x的取值范围是（    ）

    解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为A。

    例2  函数的自变量x的取值范围是（    ）

    解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分母不能为零。答案为：C。

    二、二次根式的性质

    例3  若，则xy的值等于（    ）

   A. -6   B. -2   C. 2  D. 6

    解题策略：紧扣二次根式是一个非负数的性质，可以得到：，故。答案为：A

    例4  如果，那么x的取值范围是（    ）

    解题策略：运用二次根式是一个非负数的性质知，。答案为C。

    例5  若b<0，化简的结果是（    ）

     解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数，由二次根式的性质

    答案为：C

    三、最简二次根式

    例6  把二次根式化成最简二次根式为____________。

    例7  下列各式中属于最简二次根式的是（    ）

    解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

    例6的答案为：，例7的答案为：A。

    四、同类二次根式

    例8  在下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ）

    例9  在下列各组根式中，是同类二次根式的是（    ）

    解题策略：紧扣定义：化成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。例8的答案为A，例9的答案为B。

    五、二次根式的化简运算

    例10 

    以上推导中错误在第（    ）步

    A. (1)  B. (2)  C. (3)  D. (4)

    解题策略：紧扣二次根式的性质是一个非负数，第（2）步是一个负数，是一个正数，答案为B。

    例11  计算

    解题策略：二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础，二次根式的性质是二次根式化简与运算的根据。互为有理化因式，，答案为：。

    六、二次根式的条件求值

    例12  已知，则的值为（    ）

    A. 3  B. 4  C. 5  D. 6

    解题策略：分母有理化是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。

    简解：

    答案为C

    例13  先化简，再求值：

    其中a=3，b=4

    解题策略：合并同类二次根式是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。

    当a=3，b=4时，

   七、二次根式的应用

    例14  如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求的值。

    解题策略：看懂题意、图意，抓住“点B关于点A的对称点为C”解题