初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数教案设计

19.2.3一次函数与方程，不等式-------第一课时：一次函数与一元一次方程

学习目标:

1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.

2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.

　教学重难点

重点：　1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.

　      2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.

难点：根据一次函数的图象求解方程和不等式.

教学过程

一情镜引入

　思考1：(1)解方程2x-4=0.

　(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0?

　(3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗?

　(4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标.

　学生按要求探究,并总结结论.

　从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x的值.

　从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4图象与x轴交点的横坐标.

　思考2  (1)解不等式:2x-4>0

　(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?

　(3)观察函数y=2x-4 的图象,回答问题:

　当x　　　　时,y=2x-4 >0,当x　　　　时,y=2x-4 < 0. 

　学生按要求探究,讨论交流并总结.

　从数的角度看:一元一次不等式2x-4>0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围.

　从形的角度看:解一元一次不等式2x-4>0(或2x-4<0)可以看作:求一次函数y=2x-4图象在x轴的上方(或下方)时点的横坐标的取值范围.

　从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式.

二，新知探究，合作交流

1.一次函数与方程的关系

　探究:下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?

　(1)2x+1=3,  (2)2x+1=1,  (3)2x+1=-1.

　学生独立思考后,画出一次函数y=2x+1的图象,发现:

　三个方程等号的左边都是2x+1,结果不同.从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取3, 1, -1的点的横坐标1,0 ,-1就是方程的解.再通过计算发现三个方程的解是函数图象上纵坐标为3,1,-1的对应点的横坐标的值.

　思考:解方程ax+b=0(a≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0有什么关系?

　　学生讨论回答：任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此,解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取y=0时,求x的值.或在函数y=ax+b图象上找出与x轴的交点,该交点横坐标的值就是该方程的解.

例1. 根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解.

　分析：根据图象可知:5x=0的解为x=0;  x+2=0的解为x=-2;  x-1=0的解为x=1.

2.探究一次函数与不等式的关系

　探究:下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?

　(1)2x+1>3,(2)2x+1<5,(3)2x+1<-1.

　小组内共同解了三个一元一次不等式,画出一次函数y=2x+1的图象,思考发现:

　不等号的左边都是2x+1,而不等号的右边是不同的数.解这3个不等式相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为大于3,小于5,小于-1时,求自变量x的取值范围.

　从图象可以看出在直线y=2x+1上取纵坐标分别满足大于3,小于0,小于-1的点,看点的横坐标满足什么条件.分别是x>1,   x<2,  x<-1.

　讨论:由上面的几个问题你能否说出一次函数与一元一次不等式之间有何关系?

　学生尝试回答,师生共同总结：任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.

　例2. :如图所示的是函数y=-x+3的图象,根据图象回答下列问题:

　(1)求方程-x+3=0的解;

　(2)求不等式-x+3<0的解集;

　(3)当x取何值时,y≥0.

　解:(1)由图象可知:当x=2时,y=0,即方程-x+3=0的解为x=2.　(2)由图象可知:当x>2时,y<0,即不等式-x+3<0的解集为x>2.　(3)由图象可知:当x≤2时,y≥0.

三．巩固练习

.已知直线y1=kx+2与y2=3x-2,相交于点(1,a)?

(1)求直线y1的解析式;

(2)求直线y1与x轴、y轴的交点坐标;

(3)当x为何值时,kx+2>3x-2?kx+2<3x-2?

四．总结拓展

1.课堂小结：一次函数与方程、不等式的关系:

2.拓展延伸

　利用图象解不等式:

(1)2x-5>-x+1;(2)2x-5<-x+1.

3.作业布置   教材P98页练习题；教材P99页习题第13题.

五．课堂效果测评

1.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是　　(　　)

A.x>1　　B.x≥1

C.x<1　　D.x≤1

2.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解,则a的值是　　　　. 

3.若方程组的解为则直线y=-x+a与y=x-b的交点坐标为　　　　. 

4.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2,则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是　　　　. 

5.已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(0,1) ,  B(2,0),则当x　　　　时,y≤0. 

六．评价与反思（引导学生自己总结）

1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书

2.教学反思

本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的