初中第9章 中心对称图形——平行四边形综合与测试单元测试当堂达标检测题

第9章 中心对称图形——平行四边形

1．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为(     )

①AC⊥BD  ②∠BAD=90°  ③AB=BC  ④AC=BD．

A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③

2.  如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）D

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是（　　）

A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3

4．下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=(     )

A．40° B．50° C．60° D．80°

6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF

7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(     )

A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD 

C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC

9. ▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF 

10．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC 

C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC

11．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是      ．

12. 如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为   　．

13．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点　 　．

14．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：        ．（填一条即可）

15.  如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　     　．

16．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD＝6，则AE的长为　 　．

17．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　  　s后，四边形ABPQ成为矩形．

18．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．

（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=       度；

（2）求证：NM=NP；

（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．

19. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为         时，四边形AMDN是矩形；

          ②当AM的值为          时，四边形AMDN是菱形．

21.  如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

22．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．

（1）哪两个图形成中心对称？

（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；

（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

23．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

24．如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．

25．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结CD和EF．

（1）求证：CD＝EF；

（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．

答案

1． C

2.  D

3． C

4． C

5． B

6.  B

7． B

8． C

9.  B

10． C

11． ．

12.  21°

13． C  

14． 两组对边分别平行、或两组对边分别相等、或对角线相互平分等．

15.   2≤a+2b≤5．

16． 3

17． 4

18． 解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，

∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，

∵N是BC的中点，∴MN=PN，

∴∠NMP=∠NPM=30°；

（2）

如图1，延长MN交DC的延长线于点E，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，

∴∠BMN=∠E，

∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，

在△MNB和△ENC中，

，

∴△MNB≌△ENC，

∴MN=EN，

即点N是线段ME的中点，

∵MP⊥AB交边CD于点P，

∴MP⊥DE，

∴∠MPE=90°，

∴PN=MN=ME；

（3）如图2

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，

又M，N分别是边AB，BC的中点，

∴MB=NB，

∴∠BMN=∠BNM，

由（2）知：△MNB≌△ENC，

∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，

又∵PN=MN=NE，

∴∠NPE=∠E，

设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，

则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，

在△PNC中，2x+2x+x=180，

解得：x=36，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，

②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，

在△PNC中，2x+x+x=180，

解得：x=45，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．

19.  （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠AFC=∠DCG，

∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF=CD，

∴AB=AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．

理由：∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠FAG=60°，

∵AB=AG=AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．

20． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

又∵点E是AD边的中点，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵AM=1=AD，

∴∠ADM=30°

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

故答案为：1；

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM=DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，

故答案为：2．

21.   解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，

∴6+t＝2（6﹣t），

∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，

∴t＝2.（3﹣t），

解得t＝3．

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK是等边三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．

（4）如图3中，连接AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，

∴AM⊥BC，

∴AM＝＝3，

∵AB′≥AM﹣MB′，

∴AB′≥3﹣3，

∴AB′的最小值为3﹣3．

22． 解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；

（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，

∴△EDB的面积也为4，

∵D为BC的中点，

∴△ABD的面积也为4，

所以△ABE的面积为8；

（3）∵在△ABD和△CDE中，，

∴△ABD≌△CDE（SAS），

∴AB＝CE，AD＝DE

∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜8，

∴1＜AD＜4．

23． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴∠B=∠FDC，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF． 

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE=GF，

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD． 

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，

∴四边形ABCG为正方形．

∴AG=BC．…

∵∠DCE=45°，

根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…

∴10=4+DG，

即DG=6．

设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，

在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．

解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…

∴AB=12．

∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．

即梯形ABCD的面积为108．…

24． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝CE，AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE＝CF．

（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴OE＝OC，

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA＝OC，OE＝OF，

∴AC＝EF，

∴四边形AECF是矩形．

25． 解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵CF＝BC，

∴DE＝FC，

∵DE∥FC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴CD＝EF；

（2）猜想：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC

∴△ADE的面积＝△DEC的面积，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴△DEC的面积＝△ECF的面积，

∴△ADE的面积＝△ECF的面积，

∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．