2021年九年级中考数学 专题练习：等腰三角形（含答案）

这是一份2021年九年级中考数学 专题练习：等腰三角形（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1. 如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=( )





A.50°B.100°C.120°D.130°





2. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( )


A.16 cmB.17 cmC.20 cmD.16 cm或20 cm





3. （2020·临沂）如图，在中，，，，则（ ）





A.40°B.50°C.60°.D.70°


4. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为( )





A.(1，1)B.(1，) C.(，1)D.()





5. (2020自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）








A．50°B．40°C．30°D．20°


6. （2020·天门仙桃潜江）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC∠DAE90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BDCE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE45°．其中正确结论的个数有


A．1 B．2个C．3个D．4个


A


B


C


D


E


F





7. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是( )


A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°





8. （2020·无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝EQ \F(1,2)，线段PQ在边BA上运动，PQ＝EQ \F(1,2)，有下列结论：


①CP与QD可能相等； ②△AQD与△BCP可能相似；


③四边形PCDQ面积的最大值为EQ \F(31\R(,3),16)； ④四边形PCDQ周长的最小值为3＋EQ \F(\R(,37),2).


其中，正确结论的序号为（ ）





A．①④ B．②④ C．①③ D．②③








二、填空题


9. 若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 .





10. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)


①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD


③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD











11. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B在同一直线上，则∠ABD的度数是 .








12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD＝20°，则∠ABD＝________°.








13. （2020·常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝________°．











14. （2020·贵阳）（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 ．








15. (2019•哈尔滨)在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为__________．





16. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC= .








三、解答题


17. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.


(1)求证:△BDE≌△CDF;


(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.




















18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.


(1)求证：△ACE≌△CBD；


(2)求∠CGE的度数．




















19. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．


(1)求证：△DFB是等腰三角形；


(2)若DA＝eq \r(7)AF，求证CF⊥AB.




















20. (2020·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．


(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；


(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．


F


D


E


C


A


B























2021中考数学 专题训练：等腰三角形-答案


一、选择题


1. 【答案】B





2. 【答案】C





3. 【答案】D


【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且，，可得：；然后根据两直线平行内错角相等且可得：，所以选D．


4. 【答案】B [解析]过点B作BH⊥AO于点H，


∵△OAB是等边三角形，


∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).








5. 【答案】 D．





【解析】本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，


∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D．


6. 【答案】C


【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，


∴AB=AC，AD=AE，


∵∠BAD=90°+∠CAD，


∠CAE=90°+∠CAD，


∴∠BAD=∠CAE，





在△AEC与△ADB中，


，





∴△AEC≌△ADB(SAS)，


∴BD=CE，故①正确；





∴∠ADB=∠AEC，


∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，





∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°


∴∠DEF+∠EDF=90∘，


∴BD⊥CE，故②正确；


∵作AN⊥CE，AM⊥BD


∵△AEC≌△ADB(SAS)，


∴AM=AN，


∵AF是∠BFE的角平分线，





∠BFE=90°，


∴∠AFE=45°，故④正确





，故③正确；


因为QF≠PF，故③错误。





正确的有3个，


故选：C.








7. 【答案】C 【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝eq \f(1,2)(∠DAC＋∠DCA)＝eq \f(1,2)(180°－∠ADC)＝eq \f(1,2)(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.





8. 【答案】 D


【解析】设AQ＝x，则BP＝EQ \F(5,2)—x


①如图1，当点P与B重合时，此时QD为最大，过点Q作QE⊥AC，∵AQ＝EQ \F(5,2)，∴AE＝EQ \F(5,4)，QE＝EQ \F(5\R(,3),4)，∴DE＝EQ \F(3,4)，∴此时QD＝EQ \F( eq \r(21),2)，即0≤QD≤EQ \F( eq \r(21),2)；而EQ \F(3\R(,3),2)≤CP≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误





②若△AQD∽△BCP，则EQ \F(AD,BP)＝EQ \F(AQ,BC)，代入得2x2—5x+3＝0，解得x1＝1，x2＝EQ \F(3,2)，∴都存在，∴②正确；


③如图2，过点D作DE⊥AB，过点P作PF⊥BC，S四边形PCDQ=S△ABC—S△AQD—S△BPC＝EQ \F(\R(,3),4)×32－EQ \F(1,2)xEQ \F(\R(,3),4)－EQ \F(1,2)×3×EQ \F(\R(,3),4)（EQ \F(5,2)－x）＝EQ \F(\R(,3),4) x ＋EQ \F(21\R(,3),16)，∵EQ \F(5,2)—x≥0，即x≤EQ \F(5,2)，∴当x=EQ \F(5,2)时面积最大为EQ \F(31\R(,3),16)；③正确；


④如图，将D沿AB方向平移EQ \F(1,2)个单位得到E，连接PE，即四边形PQDE为平行四边形，∴QD=PE，四边形周长为PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求PE+PC的最小值，作点E关于AB的对称点F，连接CF，线段CF的长即为PE+PC的最小值；过点D作DG⊥AB，∴AG＝EQ \F(1,4)，EN=FN=HM=EQ \F(\R(,3),4)，∴CH＝EQ \F(3\R(,3),2)＋EQ \F(\R(,3),4)＝EQ \F(7\R(,3),4)，FH＝MN＝EQ \F(3,2)－EQ \F(1,4)－EQ \F(1,2)＝EQ \F(3,4)，∴FC＝EQ \F(\R(,39),2)，∴四边形PCDQ周长的最小值为3＋EQ \F(\R(,39),2)，④错误.








二、填空题


9. 【答案】36° [解析]∵等腰三角形的一个底角为72°，


∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.





10. 【答案】②③④ 【解析】





11. 【答案】22.5° [解析]根据题意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD，


∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.


∵D'，D，B三点在同一直线上，


∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.





12. 【答案】50 [解析] ∵AB＝AC，E为BC的中点，


∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，


又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.





13. 【答案】30°


【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为FE垂直平分BC，∴ FC＝FB ∴∠B＝∠BCF ∵△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝60° ，∴ ∠B＝30°


14. 【答案】4


【解析】解：延长BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，


过点C点作CH∥AB，交BF于点H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，


∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，


在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC4，





故答案为：4





15. 【答案】或


【解析】分两种情况：


①如图1，当时，





∵，∴；


②如图2，当时，





∵，，∴，


∴，


综上，则的度数为或．故答案为：或．





16. 【答案】16+24 [解析]将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP'，连接PP'，


所以P'C=PA=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP为8，


所以PP'=8，S△BPP'=16，


因为PC=10，所以PP'2+P'C2=PC2，


所以△PP'C是直角三角形，S△PP'C=24，所以S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=16+24.





三、解答题


17. 【答案】


解:(1)证明:∵CF∥AB，


∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.


∵AD是BC边上的中线，


∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.


(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，


∴AB=AE+BE=1+2=3.


∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AC=AB=3.





18. 【答案】


解：(1)证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，


∴△ABC是等边三角形．


∴AB＝CB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°.


∵BE＝AD，∴BE＋BC＝AD＋AB，


即CE＝BD.


在△ACE和△CBD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CE＝BD，,∠ACE＝∠CBD，,AC＝CB，))


∴△ACE≌△CBD(SAS)．


(2)由(1)知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D.


∵∠BAE＝∠DAG，


∴∠E＋∠BAE＝∠D＋∠DAG，


即∠CGE＝∠ABC.


∵∠ABC＝60°，


∴∠CGE＝60°.





19. 【答案】


(1)证明：∵AB为直径，


∴∠ACB＝90°，


∵△AEF是等边三角形，


∴∠EAF＝∠EFA＝60°，


∴∠ABC＝30°，


∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)


∴∠ABC＝∠FDB，


∴FB＝FD，


∴△BDF是等腰三角形．(3分)


(2)解：设AF＝a，则AD＝eq \r(7)a，





解图


如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，


由(1)得，BF＝2－a＝DF，


∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，


在Rt△ADC中，DC＝eq \r(（\r(7)a）2－1)＝eq \r(7a2－1)，


在Rt△DCE中，tan30°＝eq \f(CE,DC)＝eq \f(1－a,\r(7a2－1))＝eq \f(\r(3),3)，


解得a＝－2(舍去)或a＝eq \f(1,2)，(5分)


∴AF＝eq \f(1,2)，


在△CAF和△BAC中，


eq \f(CA,AF)＝eq \f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，


∴△CAF∽△BAC，


∴∠CFA＝∠ACB＝90°，


即CF⊥AB.(6分)





20. 【答案】


解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，


∴∠ABC＝×(180°－40°)＝70°．


∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝×70°＝35°．


∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°．


∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°．


(2)∵BD平分∠ABC，BD＝BD，AD＝CD，


∴△BDA≌△BDC．∴AB＝BC．


又AB＝AC，∴AB＝BC＝AC．


∴△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°．


∵AD＝DC＝2，∴AB＝4．


在Rt△ABF中，AF＝AB·tan30°＝4×＝．


说明：此题中的条件AE∥BC是多余的．


【解析】(1)由“等边对等角”求出∠ABC，由角平分线的定义求出∠ABD，∠AFE是△ABF的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD；


(2)由BD既是△ABC的角平分线又是中线可知AB＝BC，从而推出△ABC是边长为2的等边三角形．在Rt△ABF中可解出AF．


序号
正误
逐项分析
①
×
△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出AB＝AC
②
√
∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形
③
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
④
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形