2021年九年级中考数学 专题练习：锐角三角函数及其应用（含答案）

2021中考数学 专题练习：锐角三角函数及其应用

一、选择题

1. 下列式子错误的是(　　)

A. cos40°＝sin50°  B. tan15°·tan75°＝1

C. sin225°＋cos225°＝1  D. sin60°＝2sin30°

2. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为                                                           （    ）             

A.       B.    C.    D.

3. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是              (　　)

A.2 　　　   B.3     C.4 　　　   D.5

4. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（　　）

A.     B.       C.       D.

5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx  B．acosx+bcosx 

C．asinx+bcosx  D．acosx+bsinx

6. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(　　)

A.   B.

C.   D.   

7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则(　　)

A. x－y2＝3     B. 2x－y2＝9

C. 3x－y2＝15   D. 4x－y2＝21

8. （2020·湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则的值为（      ）

A.             B.             C.                 D.

二、填空题

9. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为　　　　m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 

10. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米(结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．

11. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

12. （2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．

13. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC________S△DEF(填“＞”或“＝”或“＜”)．

14. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．

15. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为           .

16. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．

三、解答题

17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求:

(1)线段BE的长;

(2)∠ECB的正切值.

18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

19. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.

在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝csin∠B；

在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．

所以csin∠B＝bsin∠C，即＝，

进一步即得正弦定理：

＝＝.(此定理适合任意锐角三角形)．

参照利用正弦定理解答下题：

在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．

20. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ　　　tan(α±β)＝

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：

(1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为  米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

2021中考数学 专题训练：锐角三角函数及其应用-答案

一、选择题

1. 【答案】D　【解析】逐项分析如下：

2. 【答案】
B

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．

3. 【答案】B　[解析]如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB于E点，且D，E，P三点共线.连接AB，由题意可知AB为☉P的直径，∵A(8，0)，∴OA=8，∵B(0，6)，∴OB=6，∴OE=BE=OB=3，在Rt△AOB中，AB==10，∴BP=AB=×10=5，在Rt△PEB中，PE==4，        

∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB===3，故选B.

4. 【答案】B

【解析】过点B作BD⊥AC于D点D， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt△ABD中，sin∠BAC=,故选B．

5. 【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，

故选D．

6. 【答案】A　【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝.

7. 【答案】B　【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝CF＝3，∵在Rt△CEG中，tanC＝，∴EG＝CG×tanC＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.

8. 【答案】B

【解析】过A点作BC的垂线，垂足为D，

∵每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，

∴AD=1，CD=3，∴，

过点B作AC的垂线，垂足为E，

∴,即,∴.

在中，，

在中，AE=，

∴cos∠BAC=．

二、填空题

9. 【答案】9.5　[解析]由题可知BC=6 m，CD=1.5 m，过D作DE∥BC交AB于点E，易知四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=6 m，

在Rt△ADE中，AE=DE·tan53°≈7.98(m)，EB=CD=1.5 m，

∴AB=AE+EB=9.48(m)≈9.5 m.

10. 【答案】1.5

【解析】∵sinα，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．

11. 【答案】1.4　【解析】如解图，作AD⊥MN于点D，由题意得，AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝7 m，CD＝＝＝＝5.6 m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4 m.

12. 【答案】

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．

13. 【答案】＝　[解析] 如图，在△ABC中，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在△DEF中，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H，

∴AG＝sinB·AB＝5sin40°.

∵∠DEF＝140°，

∴∠FEH＝40°，

∴FH＝sin∠FEH·EF＝5sin40°，

∴AG＝FH.

又∵BC＝DE，∴S△ABC＝S△DEF.

14. 【答案】

【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，

∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．

∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，

∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)

=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2

=2AD•DC

=2BD•DC，

∵AC2–BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，

∴DCBD，∴．

故答案为:．

15. 【答案】5或7

【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－ CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋ CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．

16. 【答案】3或3 或3　【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝＝3；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×＝3；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝＝3.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 或3.

三、解答题

17. 【答案】

解:(1)∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，

∴∠A=∠B=45°，AB===3，

∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，

∴AE=AD·cos45°=2×=，

∴BE=AB-AE=3=2，

即线段BE的长为2.

(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示.

∵在Rt△BEH中，

∠EHB=90°，∠B=45°，

∴EH=BH=BE·cos45°=2=2，

∵BC=3，∴CH=1，

在Rt△CHE中，tan∠ECB==2，

即∠ECB的正切值为2.

18. 【答案】

解:连接CO并延长，交AB于点D，∴CD⊥AB，且D为AB中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.

在Rt△AOD中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°，

∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，

∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).

答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

19. 【答案】

解：∵sinC＝＝，

∴AD＝bsinC，(2分)

由正弦定理得：＝，

∵∠B＝75°， ∠C＝45°，

∴∠A＝60°，(5分)

∴＝，(7分)

∴AB＝2×÷＝.(9分)

20. 【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在Rt△BDE中，

∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，

tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

∴ BE＝14＋7，(6分)

又∵AE＝DC＝，

∴AB＝BE＋AE＝14＋7＋＝14＋8(米)，(7分)

答：纪念碑的高度是(14＋8)米．(8分)