2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《二次函数与三角函数综合》专题训练含答案

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2021年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合》专题突破训练
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b＝﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a＝1，则OA•OB＝OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
2．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

A．或 B．或 C．或 D．
3．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（　　）

A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
4．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　）

A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
5．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
6．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度为（　　）m．

A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是　 　．

8．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y＝x的图象，则阴影部分的面积是　 　．

9．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2009在二次函数第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出△A2008B2009A2009的边长为　 　．

10．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，﹣3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为　 　．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为　 　．

11．如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．下列判断：
①当x＜0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M＝1的x值是﹣或．
其中正确的是　 　．

12．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的　 　倍．（结果保留两个有效数字）．

13．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为　 　m．

14．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是　 　m．

15．如图，斜坡AB的坡度i＝1：2，坡脚B处有一棵树BC，某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC的高度为　 　米．

16．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为　 　米．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

19．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．



20．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．





22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

23．如图（1）是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且AB＝CD＝CP＝DM＝20cm．

（1）当点P向下滑至点N处时，测得∠DCE＝60°时
①求滑槽MN的长度；
②此时点A到直线DP的距离是多少？
（2）当点P向上滑至点M处时，点A在相对于（1）的情况下向左移动的距离是多少？
（结果精确到0.01cm，参考数据 ≈1.414，≈1.732）




24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

25．如图，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面的影长BC为6米，在斜坡CE的影长CD为13米，身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1：2.4，求楼AB的高度．（坡度为铅直高度与水平宽度的比）



26．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．

2021年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合》专题突破训练答案
1．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴，
解得b＝﹣2．
故该选项正确．
②由①可得b＝﹣2，a+c＝0，即c＝﹣a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a＝1时，c＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1
当y＝0时，0＝x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x1•x2＝c，
即OA•OB＝|c|，
当x＝0时，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，
∴若a＝1，则OA•OB＝OC2，
故该选项正确．
总上所述①②④正确．
故选：C．
2．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
3．解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．
故选：C．

4．解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC＝x，AD＝CD+x，AB＝，AB＝；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选：D．
5．解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A＝，
∴＝＝AB，
∴S△ABC＝×AB×CD＝，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．

6．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2（米）．
故选：A．
7．解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，
∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，
∴ 解得﹣≤a≤﹣；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，
∴ 解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣．
故答案为：﹣≤a≤﹣．
8．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为45°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为135°，半径为2，所以：
S阴影＝＝π．
故答案是：π．
9．解：设△A0A1B1的边长为m1；
∵△A0A1B1是等边三角形，
∴∠A1A0B1＝60°，∠B1A0x＝30°；
故B1（，）；
由于点B1在抛物线的图象上，则有：
×（m1）2＝，解得m1＝1；
同理设△A1A2B2的边长为m2；
同上可得B2（，1+）；
由于点B2也在抛物线的图象上，则有：
×（m2）2＝+1，解得m2＝2；
依此类推，△A2B3A3的边长为：m3＝3，
…
△AnBn+1An+1的边长为mn+1＝n+1；
∴△A2008B2009A2009的边长为2009．
10．解：由题意得A（﹣1，0）、B（3，0）、D（0，﹣3）
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、D
∴可列出方程组，
解得c＝﹣3、a＝1、b＝﹣2，
该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

∵半圆的圆心M（1，0），半径为2，
∴圆的解析式为半圆的解析式为（x﹣1）2+y2＝4 （y≥0），
设点C的坐标为（0，k），
∵点C在半圆上，
∴1+k2＝4，解得k＝
即C点的坐标为（0，），
则直线CM的解析式斜率为，
因而过点C圆M切线的解析式斜率为＝
故经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为y﹣＝，
即y＝．
11．解：∵当y1＝y2时，即﹣2x2+2＝2x+2时，
解得：x＝0或x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当﹣1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1＝﹣2x2+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②错误；
∵抛物线y1＝﹣2x2+2，直线y2＝2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x＝0时，M＝2，抛物线y1＝﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
∴使得M大于2的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当﹣1＜x＜0时，y1＞y2；
∴使得M＝1时，y2＝2x+2＝1，解得：x＝﹣；
当x＞0时，y2＞y1，
使得M＝1时，即y1＝﹣2x2+2＝1，解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴使得M＝1的x值是﹣或．
∴④正确；
故答案为：③④．
12．解：如图，根据题意设光速为tm/s，
则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，
过A'作CA'⊥AC于A'，
在Rt△ACA'中，∠A'AC1＝10°÷2＝5°，A'C＝0.2tm，
∴AA'＝CA'÷sin5°≈2.3，
∴A移动的距离约为2.3tm；
故交点A的移动速度是光速的2.3倍．

13．解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB＝MN，AM＝BN．
在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50m，
∴CM＝AM＝50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，BN＝50m，
∴CN＝＝＝（m），
∴MN＝CM﹣CN＝50﹣（m）．
则AB＝MN＝（50﹣）m．
故答案是：（50﹣）．

14．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
15．解：过点D作DF⊥BG，垂足为F，
∵斜坡AB的坡度i＝1：2，
∴设DF＝x，BF＝2x，则DB＝10m，
∴x2+（2x）2＝102，
解得：x＝2，
故DE＝4，BE＝DF＝2，
∵测得太阳光线与水平线的夹角为60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：EC＝4，
故BC＝EC+BE＝2+4（m），
故答案为：2+4．

16．解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6+20（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9＝（6+29）m．
故答案为：6+29．

17．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为；

（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）
∴直线BC的解析式为，
∵
∴

∴＝，
由S△BCD＝2S△AOC得：
∴，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；
（3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（t，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：t+3＝1，n﹣2＝s或t﹣3＝1，n+2＝s，
解得：t＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：t+1＝3，n+s＝2，
解得：t＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．
18．解：（1）根据题意，得
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）令y＝0，得二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；
由于P是对称轴x＝2上一点，
连接AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；
由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB＝BP+PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
根据题意可得
解得
所以直线BC的解析式为y＝x﹣5；（9分）
因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，
解得，
所求的点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）M（5，0）或（﹣1﹣，0）或（﹣1，0）或（2，0）．

19．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，AB＝6，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
将点A代入y＝ax2﹣2ax+4，则有0＝4a+4a+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）设R（t，﹣t2+t+4），
过点R作x、y轴的垂线，垂足分别为R'，R''，
则∠RR'O＝∠RR''O＝∠R'OR''＝90°，
∴四边形RR'OR''是矩形，
∴RR''＝OR'＝t，OR''＝RR'＝﹣t2+t+4，
∴S△OCR＝OC•RR''＝×4t＝2t，
S△ORB＝OB•RR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
∴S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；
（3）设EF、PD交于点G'，连EG，连接OP交GE于点Q，
∵PD⊥EF，
∴∠FG'G＝∠DG'E＝90°＝∠DOG，
∴∠OFE＝∠GDO，
∵∠DOG＝∠FOE＝90°，EF＝DG，
∴△DGO≌△FEO（AAS），
∴GO＝OE，
∵∠OGP＝90°+∠OFE，∠OEP＝90°﹣∠OFE+∠PEF，
又∵∠PEF＝2∠OFE，
∴∠OEP＝90°﹣∠OFE+2∠OFE＝90°+∠OFE，
∵∠OGE＝∠OEG＝45°，
∴∠PGQ＝∠PEQ，
∴PG＝PE，
∴△PGO≌△PEO（SAS），
∴OP是EG的垂直平分线，
∴OP平分∠COB，
过P作KP⊥x轴于K，PW⊥y轴于W，交RT于点H，
则PW＝PK，∠PWO＝∠PKO＝∠WOK＝90°，
∴四边形PWOK是正方形，
∴WO＝OK，
∵OC＝OB＝4，
∴CW＝KB，
∵P在BT垂直平分线上，
∴PT＝PB，
∴TK＝KB＝CW，
设OT＝2a，则TK＝KB＝CW＝2﹣a，
HT＝OK＝PW＝2+a，
∵OB﹣TS＝，
∴HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，
∵tan∠HPS＝＝，
∴＝，
∴a＝1或a＝，
当a＝1时，R（2，4），
当a＝时，R（，），
综上所述：R点坐标为（2，4）或R（，）．

20．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，
∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m＝时，PQ的长l最大＝﹣（）2﹣（）+2＝．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m＝时，PQ最长，最大值为．
（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，
∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，
当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，
当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）
综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），
R6（2，﹣1）．
答：符合条件的点R共有6个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．

21．解：（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：；

（2）如图，连接QD，
由B（4，0）和D（，0），
可得BD＝，
∵，
∴CO＝4，
∴BC＝4，则BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠QDC，
∴DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴，
∴，
∴DQ＝＝DP，
＝；
（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵S△GCB＝S△GCA，
∴只有CG∥AB时，G点才符合题意，
∵C（0，4），
∴4＝﹣x2+x+4，
解得：x1＝1，x2＝0，
∴G（1，4），
∵∠GBE＝∠OBC＝45°，
∴∠GBC＝∠ABE，
∴△BGM∽△BEN，
∴，
设E（x，）
∴＝
解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），
则E（，）．
22．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1.3×＝1.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝（米），
∴EM＝EG+GM＝+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．

23．解：（1）①当点P向下滑至点N处时，如图1中，作CH⊥DN于H．
∵∠DCE＝60°，
∴∠DCN＝180°﹣∠DCE＝120°，
∵CD＝CP＝20cm，即CD＝CN＝20cm，
∴∠CDN＝（180°﹣∠DCN）＝30°，
∴CH＝CD＝10cm，NH＝DH＝＝10（cm），
∴MN＝DN﹣DM＝2DH﹣DM＝20﹣20≈14.6cm．
∴滑槽MN的长度为14.6cm．

②根据题意，点A到直线DP的距离是6CH＝6×10＝60cm．

（2）当点P向上滑至点M处时，如图2中，△CMD是等边三角形，
∴∠CDM＝60°，
作CG⊥DM于G，则CG＝CD•sin60°＝20×＝10（cm），
此时点A到直线DP的距离是6CG＝6×10＝60，
∵60﹣60≈43.92cm，
∴点A在相对于（1）的情况下向左移动的距离是43.92cm．

24．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．

（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．

25．解：作DN⊥AB，垂足为N，作CM⊥DN，垂足为M，
则CM：MD＝1：2.4＝5：12，
设CM＝5x，则MD＝12x，
由勾股定理得CD＝＝13x＝13
∴x＝1
∴CM＝5，MD＝12，
四边形BCMN为矩形，MN＝BC＝6，BN＝CM＝5，
太阳光线为平行光线，光线与水平面所成的角度相同，
角度的正切值相同，∴AN：DN＝1.5：1.35＝10：9，
∴9AN＝10DN＝10×（6+12）＝180，
AN＝20，AB＝20﹣5＝15，
答：楼AB的高度为15米．

26．解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD＝，
∴＝，
则BC＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝20，
解得：BD＝＝10+10（m）．
答：古塔BD的高度为（）m