第三轮冲刺必刷仿真卷06-2020年高考数学（文）三轮冲刺必刷卷（3练1模拟）（六）

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第三轮冲刺必刷仿真卷06


一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．


1．已知实数a，b满足(a＋bi)(2＋i)＝3－5i(其中i为虚数单位)，则复数z＝b－ai的共轭复数为( )


A．－eq \f(13,5)＋eq \f(1,5)i B．－eq \f(13,5)－eq \f(1,5)i


C.eq \f(13,5)＋eq \f(1,5)i D.eq \f(13,5)－eq \f(1,5)i


【答案】 A


【解析】 依题意，a＋bi＝eq \f(3－5i,2＋i)＝eq \f(3－5i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(1－13i,5)，故a＝eq \f(1,5)，b＝－eq \f(13,5)，故z＝b－ai＝－eq \f(13,5)－eq \f(1,5)i，故复数z的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))＝－eq \f(13,5)＋eq \f(1,5)i，故选A.


2．已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集的个数为( )


A．1 B．3


C．5 D．7


【答案】 B


【解析】 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x2＝4y与y＝x的图象，观察可知，它们有2个交点，即A∩B有2个元素，故A∩B的真子集的个数为3，故选B.


3．已知命题p：“∀a>b，|a|>|b|”，命题q：“∃x0<0，2 x0>0”，则下列为真命题的是( )


A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)


C．p∨q D．p∨(綈q)


【答案】 C


【解析】 对于命题p，当a＝0，b＝－1时，0>－1，


但是|a|＝0，|b|＝1，|a|<|b|，所以命题p是假命题．


对于命题q，∃x0<0,2x0>0，如x0＝－1,2－1＝eq \f(1,2)>0.


所以命题q是真命题，所以p∨q为真命题．


4．“a＝eq \f(1,2)”是“直线l1：ax＋a2y＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋y＋1＝0垂直”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


【答案】 C


【解析】 “直线l1：ax＋a2y＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋y＋1＝0垂直”等价于－eq \f(1,a)·(1－a)＝－1，即a＝eq \f(1,2).


5．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝( )





A．8 B．6 C．7 D．9


【答案】 B


【解析】 由题意，得T＝1×lg24×lg46×…×lg6264＝eq \f(lg 4,lg 2)×eq \f(lg 6,lg 4)×…×eq \f(lg 64,lg 62)＝eq \f(lg 64,lg 2)＝6，故选B.


6．若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )


A．2 B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(1,2)


【答案】 A


【解析】 由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，


eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.故选A.


7．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )


A.eq \f(1,2) B．1 C．2eq \r(2) D.eq \r(2)


【答案】 C


【解析】 由题意双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，即eq \f(c,a)＝eq \r(3)⇒c2＝3a2.


又由c2＝a2＋b2，即b2＝2a2，


所以双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,2a2)＝1，


又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得


eq \f(4,a2)－eq \f(4,2a2)＝1，解得a＝eq \r(2)，所以双曲线的实轴长为2a＝2eq \r(2).


8．若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋7≥0，,2x＋y≥3，,3x－y＋1≤0，))则x2＋y2的最大值为( )


A．5 B．11.6 C．17 D．25


【答案】 C


【解析】 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x2＋y2的最大值在点B(1,4)处取得，故x2＋y2的最大值为17.








9．设函数f(x)＝|lg x|，若存在实数0

A．M>N>Q B．M>Q>N


C．N>Q>M D．N>M>Q


【答案】 B


【解析】 ∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|，∴lg a＋lg b＝0，即ab＝1，∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(1,a＋b＋2)＝eq \f(1,a＋\f(1,a)＋2)eq \f(ab,4)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(a2＋b2,8)>eq \f(1,4)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a)＋\r(b))))2，∴M＝lg2eq \f(a2＋b2,8)>－2，又Q＝ln eq \f(1,e2)＝－2，∴M>Q>N.


10．正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是( )


A.eq \r(10) B．4＋eq \r(3) C．2＋eq \r(3) D.eq \r(4＋\r(3))


【答案】 D


【解析】 (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝eq \r(AM2＋AN2)＝eq \r(12＋2＋12)＝eq \r(10).





(2)从底面到N点，沿棱柱的AC，BC剪开、展开，如图2.


则MN＝eq \r(AM2＋AN2－2AM·ANcs120°)


＝ eq \r(12＋\r(3)2＋2×1×\r(3)×\f(1,2))＝ eq \r(4＋\r(3))，


∵ eq \r(4＋\r(3))

11．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)


【答案】 D


【解析】 依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°可得P点的坐标为(2c，eq \r(3)c)．又因为kAP＝eq \f(\r(3),6)，即eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，


所以a＝4c，e＝eq \f(1,4)，故选D.


12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝xeq \f(1,2)，若函数g(x)＝f(x)－x－b恰有一个零点，则实数b的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(1,4)))，k∈Z


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k＋\f(1,2)，2k＋\f(5,2)))，k∈Z


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(1,4)，4k＋\f(1,4)))，k∈Z


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,4)，4k＋\f(15,4)))，k∈Z


【答案】 D


【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)＝－f(x＋1)，


即f(x)＝－f(x＋2)，


则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，∵f(x－1)为偶函数，∴f(x－1)关于x＝0对称，


则f(x)关于x＝－1对称，同时也关于x＝1对称．


若x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，


此时f(－x)＝eq \r(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－eq \r(－x)，x∈[－1,0]；


若x∈[－2，－1]，x＋2∈[0,1]，


则f(x)＝－f(x＋2)＝－eq \r(x＋2)，x∈[－2，－1]；


若x∈[1,2]，x－2∈[－1,0]，


则f(x)＝－f(x－2)＝eq \r(－x－2)＝eq \r(2－x)，x∈[1,2]．


作出函数f(x)的图象如图：





由函数g(x)＝f(x)－x－b＝0得f(x)＝x＋b，


由图象知当x∈[－1,0]时，由－eq \r(－x)＝x＋b，平方得x2＋(2b＋1)x＋b2＝0，


由判别式Δ1＝(2b＋1)2－4b2＝0得4b＋1＝0，得b＝－eq \f(1,4)，此时f(x)与y＝x＋b的图象有两个交点，


当x∈[4,5]，x－4∈[0,1]，则f(x)＝f(x－4)＝eq \r(x－4)，


由eq \r(x－4)＝x＋b，平方得x2＋(2b－1)x＋4＋b2＝0，


由判别式Δ2＝(2b－1)2－16－4b2＝0得4b＝－15，


得b＝－eq \f(15,4)，


此时f(x)与y＝x＋b的图象有两个交点，


则要使此时f(x)与y＝x＋b的图象恰有一个交点，则在[0,4]内，b满足－eq \f(15,4)

即实数b的取值范围是4n－eq \f(15,4)

即4(n－1)＋eq \f(1,4)

令k＝n－1，则4k＋eq \f(1,4)

∴D正确．


二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．


13．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，－1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.


【答案】 eq \r(10)


【解析】 由题意，得a·b＝|a||b|cs45°＝eq \r(2)×1×eq \f(\r(2),2)＝1，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a＋2b|＝eq \r(10).


14．已知函数f(x)＝ax－lg2(2x＋1)(a∈R)为偶函数，则a＝________.


【答案】 eq \f(1,2)


【解析】 由f(x)＝f(－x)，得ax－lg2(2x＋1)＝－ax－lg2(2－x＋1)，2ax＝lg2(2x＋1)－lg2(2－x＋1)＝lg2eq \f(2x＋1,2－x＋1)＝x，由于x的任意性，∴a＝eq \f(1,2).


15．如图，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4eq \r(21) m的两点A，B，且AB所在直线为东西方向，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为________m.





【答案】 12


【解析】 设CD＝x，


在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BC＝x，


在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AC＝eq \f(CD,tan60°)＝eq \f(x,\r(3))，


在△ABC中，∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，AB＝4eq \r(21)，


∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，


由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs150°，


即(4eq \r(21))2＝eq \f(1,3)x2＋x2＋2·eq \f(x,\r(3))·x·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(7,3)x2，


解得x＝12.即旗杆CD的高度为12 m.


16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧eq \x\t(EF)上的动点，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为________．





【答案】 5－2eq \r(5)


【解析】 如图，以A为坐标原点，边AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，





则A(0,0)，C(2,2)，D(0,2)，设P(csθ，sinθ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝(2－csθ，2－sinθ)·(－csθ，2－sinθ)＝(2－csθ)·(－csθ)＋(2－sinθ)2＝5－2(csθ＋2sinθ)＝5－2eq \r(5)sin(θ＋φ)，tanφ＝eq \f(1,2)，当sin(θ＋φ)＝1时，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取得最小值5－2eq \r(5).


三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．


(一)必考题：共60分．


17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}中，an>0，a1＝eq \f(1,64)，eq \f(1,an)－eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an＋2)，n∈N*.


(1)求{an}的通项公式；


(2)设bn＝(－1)n·(lg2an)2，求数列{bn}的前2n项和T2n.


【答案】解 (1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0，


因为eq \f(1,an)－eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an＋2)，所以eq \f(1,a1qn－1)－eq \f(1,a1qn)＝eq \f(2,a1qn＋1)，


因为q>0，解得q＝2，


所以an＝eq \f(1,64)×2n－1＝2n－7，n∈N*.4分


(2)bn＝(－1)n·(lg2an)2＝(－1)n·(lg22n－7)2＝(－1)n·(n－7)2，


设cn＝n－7，则bn＝(－1)n·(cn)2，6分


T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－(c1)2＋(c2)2＋[－(c3)2]＋(c4)2＋…＋[－(c2n－1)2]＋(c2n)2＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n)＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n＝eq \f(2n[－6＋2n－7],2)＝n(2n－13)＝2n2－13n.12分


18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，其中点D在以AB为直径的圆上，SD＝eq \r(3)，SC＝eq \r(7)，AB＝2AD＝4，平面SCD⊥平面ABCD.





(1)证明：SD⊥平面ABCD；


(2)设点P是线段SB(不含端点)上一动点，当三棱锥P－SAC的体积为1时，求异面直线AD与CP所成角的余弦值．


【答案】解 (1)证明：连接BD，因为点D在以AB为直径的圆上，所以∠ADB＝90°，因为AB＝2AD＝4，所以∠ABD＝30°，∠DAB＝60°，所以BD＝AB·cs∠ABD＝4×cs30°＝2eq \r(3).2分


因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，所以CD＝AB－2AD·cs60°＝4－2×2×eq \f(1,2)＝2.


又因为SD＝eq \r(3)，SC＝eq \r(7)，


所以SD2＋CD2＝SC2，即SD⊥CD. 4分


又因为平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以SD⊥平面ABCD.5分





(2)由(1)，得VS－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·SD＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)AC·BC·SD＝2，设BP＝λBS，则VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·λSD＝2λ，所以VP－SAC＝VS－ABC－VP－ABC＝2－2λ＝1，解得λ＝eq \f(1,2)，7分


即点P是线段SB的中点，取AB的中点为M，连接CM，则由(1)及题设条件得AM∥CD，且AM＝CD＝2，


所以四边形AMCD为平行四边形，从而CM∥AD，且CM＝AD＝2，


所以∠PCM(或其补角)为异面直线AD与CP所成的角，8分


因为SA＝eq \r(SD2＋AD2)＝eq \r(7)，所以PM＝eq \f(\r(7),2)，


因为SB＝eq \r(SD2＋BD2)＝eq \r(15)，


所以cs∠PBC＝eq \f(SB2＋BC2－SC2,2SB·BC)＝eq \f(\r(15),5)，


所以CP2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cs∠PBC＝eq \f(7,4)，


所以cs∠PCM＝eq \f(MC2＋PC2－PM2,2MC·PC)＝eq \f(2\r(7),7)，


即异面直线AD与CP所成角的余弦值为eq \f(2\r(7),7). 12分


19．(本小题满分12分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位：MPa)随龄期(单位：天)的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i＝1,2，…，10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度yi的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．





表中wi＝ln xi，eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))wi.


(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立y关于x的回归方程；


(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.


①试预测该批次混凝土是否达标？


②由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系f28＝1.2f7＋7，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度．


附：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))，参考数据：ln 2≈0.69，ln 7≈1.95.


【答案】解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型.


令w＝ln x，先建立y关于w的线性回归方程．


由于eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) wi－\(w,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) wi－\(w,\s\up6(－))2)＝eq \f(55,5.5)＝10，3分


eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^)) eq \(w,\s\up6(－))＝29.7－10×2＝9.7，所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9.7＋10w，


因此y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9.7＋10ln x．6分


(2)①由(1)知，当龄期为28天，即x＝28时，


抗压强度y的预测值eq \(y,\s\up6(^))＝9.7＋10ln 28＝9.7＋10×(2ln 2＋ln 7)≈43.8分


因为43＞40，所以预测该批次混凝土达标.9分


②令f28＝1.2f7＋7≥40，得f7≥27.5.


所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.12分


20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ln x－ax＋a＋b)，a，b∈R，直线y＝eq \f(e,2)x是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线(e为自然对数的底数)．


(1)求a，b的值；


(2)是否存在k∈Z，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．


【答案】解 (1)f′(x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x－ax＋\f(1,x)＋b))，由已知，


有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝\f(e,2)，,f′1＝\f(e,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eb＝\f(e,2)，,eb－a＋1＝\f(e,2)，))


解得a＝1，b＝eq \f(1,2).4分


(2)由(1)，知f(x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x－x＋\f(3,2)))，


则f′(x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x－x＋\f(1,x)＋\f(1,2)))，


令g(x)＝ln x－x＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,2)，


则g′(x)＝－eq \f(x2－x＋1,x2)＜0恒成立，6分


所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又因为g(1)＝eq \f(1,2)＞0，g(2)＝ln 2－1＜0，


所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得g(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，


当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0.


所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减.9分


又因为当x→0时，f(x)＜0，f(1)＝eq \f(e,2)＞0，f(2)＝e2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 2－\f(1,2)))＞0，f(e)＝eeeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－e))＜0，


所以存在k＝0或2，使得y＝f(x)在(k，k＋1)上有唯一零点.12分


21．(本小题满分12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq \f(8,3).


(1)求椭圆C的方程；


(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2交于M，N两点，求证：∠MF1N的定值．


【答案】解 (1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝eq \f(8,3)，得eq \f(b2,a)＝eq \f(8,3).又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝8，


故所求椭圆C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.4分


(2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3，


直线l与直线l1，l2联立可得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，6分


所以eq \(F1M,\s\up6(→))＝(－2，－3k＋m)，eq \(F1N,\s\up6(→))＝(4,3k＋m)．


所以eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(F1N,\s\up6(→))＝－8＋m2－9k2.


联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1，,y＝kx＋m，))得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.8分


因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简，得m2＝9k2＋8.10分


所以eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(F1N,\s\up6(→))＝－8＋m2－9k2＝0，所以eq \(F1M,\s\up6(→))⊥eq \(F1N,\s\up6(→))，故∠MF1N为定值eq \f(π,2).12分


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(注：可以先通过k＝0计算出此时∠MF1N＝\f(π,2)，再验证一般性))


(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．


22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程


在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ))


(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)．


(1)求C和l的直角坐标方程；


(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．


【答案】解 (1)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ，))


∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.3分


∵直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα，))


∴当csα≠0时，y－2＝(x－1)tanα，


得直线l的直角坐标方程为y＝(x－1)tanα＋2；


当csα＝0时，直线l的直角坐标方程为x＝1.5分


(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))与曲线C：4x2＋y2＝16联立可得，


4(1＋tcsα)2＋(2＋tsinα)2＝16.


化简得，(4cs2α＋sin2α)t2＋(8csα＋4sinα)t－8＝0.


∴t1＋t2＝－eq \f(8csα＋4sinα,4cs2α＋sin2α).7分


∵曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，


∴t1＋t2＝0，∴8csα＋4sinα＝0，tanα＝－2，


∴直线l的斜率为－2.10分


23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲


已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.


(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；


(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．


【答案】解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x>1，,2x，－1≤x≤1，,－2，x<－1.))


∴当x>1时，f(x)＝2>1恒成立；


当－1≤x≤1时，f(x)＝2x>1，x>eq \f(1,2)，


∴eq \f(1,2)

当x<－1时，f(x)＝－2>1不成立；


综上所述，f(x)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2))))).5分


(2)当x∈(0,1)时，


f(x)＝x＋1－|ax－1|>x，


即|ax－1|<1，所以－1

∴0

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a<\f(2,x)，))即0

所以a的取值范围是(0,2].10分


eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(w,\s\up6(－))
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))2
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))·


(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \(w,\s\up6(－)))·


(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55