高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制教学设计

任意角和弧度制——弧度制

【教学目标】

一、知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数。

二、过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题

三、情感与态度目标

通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。

【教学重点】

弧度的概念。弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。

【教学难点】

“角度制”与“弧度制”的区别与联系。

【教学过程】

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？

规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制。

二、新课：

1．引入：

由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太方便。在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

2．定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下，1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略。

3．思考：

（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成探究并归纳：

弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为；   ②整圆所对的圆心角为.

③正角的弧度数是一个正数。    ④负角的弧度数是一个负数。

⑤零角的弧度数是零。      ⑥角的弧度数的绝对值.

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

；；；。

②将弧度化为角度：

；；；。

5．常规写法：

①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数。

②弧度与角度不能混用。

6．特殊角的弧度

7．弧长公式

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积。

例1．把化成弧度。

例2．把化成度。

例3．计算：

（1）；（2）。

例4．将下列各角化成0到的角加上（）的形式：

（1）；（2）。

例5．将下列各角化成(，)的形式，并确定其所在的象限。

（1）；（2）。

解：（1），

而是第三象限的角，

∴是第三象限角。

（2）∴是第二象限角。

例6.利用弧度制证明扇形面积公式，其中是扇形弧长，是圆的半径.

证法一：∵圆的面积为，∴圆心角为的扇形面积为，又扇形弧长为，半径为，

∴扇形的圆心角大小为，

∴扇形面积。

证法二：设圆心角的度数为，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴。

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多。

扇形面积公式：

8．课堂小结①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别。