人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念精品学案

集合的概念

【学习目标】

1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合。

2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力。

【学习重点】

集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容。

【学习难点】

区别元素与集合等概念及其符号表示。

【自学导引】

1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{  }”括起来表示集合的方法叫做列举法。

2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

3．写出不等式的解集：。

4．所有偶数的集合可表示为：。

5．方程的所有实数根组成的集合为：。

【学习过程】

一、用列举法表示集合

例1  用列举法表示下列集合：

（1）15的正约数组成的集合；

（2）平方后仍为原数的数组成的集合。

解：（1），故集合为。

（2）平方后仍为原数的数构成的集合是。

点评  用列举法表示集合时，里面元素与顺序无关，该法表示集合直观明了。

变式迁移1用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；

（2）由所确定的实数集合。

解：（1）

（2）

二、用描述法表示集合

例2  用描述法表示下列集合：

（1）正偶数集；（2）被3除余2的正整数集；

（3）不等式2x＋5<3的解集；（4）第一、三象限点的集合。

分析：（1）中的正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为的形式；

（2）中被3除余2的正整数满足，则；

（4）中的点满足.

解：（1）。

（2）。

（3）或。

（4）。

点评：用描述法表示集合，一要看集合的代表元素是什么，是点集还是数集；二是看元素满足什么条件，一般情况下，用符号语言表示元素满足的条件。

变式迁移2  用适当方法表示下列集合：

（1）函数的图象上所有点的集合；

（2）一次函数与的图象的交点组成的集合；

（3）不等式的解集；

（4）自然数中不大于10的质数集。

解：

（1）。

（2）。

用列举法表示为：。

（3）

（4）。

三、集合语言与数学语言的转换

例3  已知集合，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围。

分析：讨论关于x的方程实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根。

解：（1）时，原方程为，，符合题意。

（2）时，方程为一元二次方程。由，得。

∴当时，方程无实数根或有两个相等的实数根。

综合（1）（2），知或。

点评：“”这种情况最容易被忽视，只有在“”的条件下，方程是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题。

变式迁移3  设集合，求实数m、n的值。

解：∵，

∴方程有两等根，

由根与系数的关系得，．

1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：

（1）元素间用“，”分隔；

（2）元素不重复；

（3）不考虑元素顺序；

（4）对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。

2．使用描述法时应注意以下四点：

（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；

（2）说明该集合中元素的特征；

（3）不能出现未被说明的字母；

（4）用于描述的语句力求简明、确切。

【达标检测】

一、选择题

1．集合用描述法表示应是（  ）

A．{是不大于9的非负奇数}

B．

C．

D．

答案：A

2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为（  ）

A．

B．

C．

D．

答案：C

3．下列语句：

①0与{0}表示同一个集合；

②由1，2，3组成的集合可表示为或；

③方程的所有解的集合可表示为；

④集合可以用列举法表示。

正确的是（    ）

A．只有①和④

B．只有②和③

C．只有②

D．以上语句都不对

答案：C

4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是（    ）

A．{x|－3<x<11，x∈Q}

B．{x|－3<x<11}

C．{x|－3<x<11，x=2k，k∈N}

D．{x|－3<x<11，x=2k，k∈Z}

答案：D

5．下列集合中表示同一集合的是（    ）

A．M={（3，2）}，N={（2，3）}

B．M={3，2}，N={2，3}

C．M={（x，y）|x＋y=1}，N={y|x＋y=1}

D．M={1，2}，N={（1，2）}

答案：B

二、填空题

6．下列可以作为方程组的解集的是__________（填序号）。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）。

答案：（3）（5）（6）

7．已知，且，，则满足条件的a的值为________。

答案：0，1，2

解析：∵且

∴且

∴又

∴A的取值为0，1，2．

8．已知集合，则M中的元素最多有________个。

答案：9

三、解答题

9．用另一种方法表示下列集合。

（1）{绝对值不大于2的整数}；

（2）{能被3整除，且小于10的正数}；

（3）；

（4）；

（5）。

解:（1）。

（2）。

（3）∵，∴，又∵且，

∴或1或2或3或4．

∴集合可以表示为{0，1，2，3，4}。

（4）。

（5）。

10．已知数集M满足条件：若，则∈M（，），已知，试把由此确定的M的其他元素全部求出来。

解：∵，则。

∴

，，

则集合M的其他元素为，，。

即。