2021年中考数学专题复习检测卷9 解直角三角形-（含解析）

解直角三角形

一、选择题.

1.如图，在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=5，AC=4.则cosA的值是(   ).

A.   B.   C.   D.

2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，BC=6cm，则AC的长度为(    )

A.9cm   B.8cm   C.7 cm   D.6 cm

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于(    )

A. 3sinα   B. 3 cosα  C.   D.

4.如图，A，B，C是正方形网格中的格点(小正方形的顶点)，则sin∠ACB的值为(   )

A.   B.   C.   D.

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有(     )

(1)(2)(3)(4)

A.1个   B.2个    C.3个    D.4个

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE:EB=4:1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan∠CFB的值等于(     )

A.   B.    C.    D.5

7.已知抛物线y=3x2+1与直线y=4cosα·x只有一个交点，则锐角α等于(     )

A.60°   B.45°    C.30°    D.15°

8.定义:在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA=底边:腰.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=4∠B.则cosB·sad A=(    )

A.1    B.   C.    D.

9.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB-|+(2cosA-1)2=0，则△ABC是(    )

A.直角(不等腰)三角形      B.等边三角形

C等腰(不等边)三角形      D.等腰直角三角形

10.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米，现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，若∠BAC=α，则此车的速度为(    )

A.5tanα米/秒  B.80tanα米/秒   C.米/秒  D.米/秒

11.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针旋转60°到AB位

置，且左边细管位置不变，则此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为(    )

A.4 cm   B.2√3cm    C.3 cm    D.8 cm

12.江津四面山是国家5A级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩——土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i=1:0.75的斜坡上行65m到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15m到达D处，在D处测得壁画底端F处的俯角为42°，壁画底端F处距离山脚B处的距离是12m，A，B，C，D，E，F在同一平面内，A，B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF为(    )m(精确到0.1m，参考数据:sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9)

A.49.5   B.68.7    C.69.7    D.70.2

二、填空题.

13.如图2是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为        .

14.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AB=√6，则BC的长为        .

15.在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠AOD=        .

16. 如图射线AB经过A(2，0)，B(0，2)，若将射线AB绕点A顺时针旋转，旋转到经过点C(3，3)的位置，若旋转的角度为α，则tanα=        .

17.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/h的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东30°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是        .

18.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行.如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆北应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C.小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离是        千米.

19.一般地，当为任意角时，tan()与tan()的值可以用下面的公

式求得:tan()=；tan()=.例如:

tan15°=tan()=。

请根据以上材料，求得tan75°的值为           .

20.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1:2.则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为       米；大树BC的高度为            米.(结果保留根号)

三、解答题.

21.(1)计算:；

(2)已知为锐角，sin(+15°)≈，计算:的值。

22. 如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=2√2.求BC的长。

23. 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=30km，∠CAB=25°，

∠CBA=45°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路.

(1)求改直的公路AB的长；

(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?

(参考数据:sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈047，≈1.414)(结果保留小数点后一位)

24. 某购物超市为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10m，∠ABD=45°，

AD⊥BC于点D，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=20°，求改造后的扶梯水平距离增加的部分BC的长度，(结果精确到0.1m，参考数据:sin20°≈0.34，

cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414).

25.如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上).已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离.(结果保留根号)。

26.“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示.根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处.(精确到1米)(备用数据:≈1.414，≈1.732)。

参考答案

1.B【解析】

2.B【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=6cm，

∴设AC=4xcm，则AB=5xcm，∴BC=3xcm=6cm，解得x=2.则AC=8cm.

3.B【解析】∴AC=AB·cosa=3cosa.

4.A【解析】设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于点D，过点B作BF⊥AE于点F，连接AB.

由勾股定理，得AC=.

∵AC·BD=5，∴BD=.

由勾股定理，得BC=，

∴

5.C【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，

∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，

故(1)，(2)，(4)正确.

6.C【解析】根据题意，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

又EF⊥AC，∴EF∥BC∴

∵AE：EB=4：1，∴

设AB=2x，则BC=x，AC=x.

∴在Rt△CFB中，CF=x，BC=x，则tan∠CFB=.

7.C【解析】根据题意，得3x2+1=4cosa·x，

即3x2-4cosa·x+1=0.则△=16os2a-4×3×1=0.

解得

8.B【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，∴∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴6∠B=180°，解得∠B=30°.

如图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD=a，则AB=2a，BD=a.

∵BC=2BD.∴BC=2a，

∴

∴

9.B【解析】∵|tanB-|+(2cosA-1)2=0，∴tanB=，2cosA=1.

则∠B=60°，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形。

10.A【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=a，AC=20米，

∴BC=AC·tan∠BAC=20tan a(米).

∴此车速度=20tan a÷4=5tan a(米/秒).

11.A【解析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=xcm，竖直放置时短软管的底面积为S，

∵∠BAH=90°-60°=30°，∴AC=2CH=2xcm，

∴右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S.

∵x·S+x·2S=6·S+6·S，解得xcm=4cm，∴CH=x=4，

即此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为4cm.

12.C【解析】如图，作CN⊥AB于点N，延长CD交BE于点M.

在Rt△ACN中，AC=65m，CN：AN=1:0.75，∴CN=52m，AN=39m。

∵四边形CNBM是矩形，∴CN=BM=52m.∵BF=12 m，∴FM=40 m.

在Rt△DMF中，

在Rt△CEM中，∵CM=CD+DM≈(m)，

∴EM=CM·tan26.5°≈29.7(m)，

∴EF=EM+FM≈29.7+40=69.7(m).

13.71cm【解析】如图，过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，

∵AC=61cm，∠PCA=30°，∴AE= AC=(cm)，

由对称性可知:BF=AE，

∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=61+10=71(cm).

14.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴

∵AB=，AB2=AC2+BC2，∴BC2+(BC)2=()2，∴BC=.

15.【解析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE如图所示.

∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD.∴∠AOD=∠ABE.

在△ABE中，AB=，AE=2，BE=，

∵AB2=AE2+BE2，∴∠AEB=90°.

∴cos∠ABE=.

16.2【解标】如图，连接CB，作CD⊥AB于点D，

∵A(2，0)，B(0，2)，C(3，3)，

∴△ABC的面积为3×3-×2×2-×(3-2)×-×3×(3-2)=4，AB=。AC=.

∴AB·CD=×2×CD=4，∴CD=2.

∴AD=

∴tan a=

17.14km【解析】如图：由题意，得∠MAB=30°，∠MBC=60°.

∵∠CBM=∠BAM+∠AMB，

∴∠AMB=∠BAM=30°，∴BM=BA.

∵AB=28×0.5=14(km)，∴BM=AB=14km.

18.3【解析】如图，作BE⊥AC于点E，

在Rt△ABE中，sin∠BAC=，∴BE=AB·sin∠BAC=6×=3(千米).

由题意，得∠C=45°，∴BC=(千米).

19.2+【解析】

20.2；3+5【解析】如图，过点D作DK⊥BC于点K，作DH⊥AE于点H，

则四边形DHCK为矩形.故DK=CH，CK=DH.

在直角三角形AHD中，

∴DH=2米，AH=4米，∴CK=2米，

设BC=x米，

在直角三角形ABC中，

∴DK=(4+x)米，BK=(x-2)米，

在Rt△BDK中，∵BK=DK·tan30°，∴x-2=(4+x)×，

解得x=5+3，∴BC=(5+3)米。

所以大树的高度为(3+5)米.

21.【解析】

原式=

(2)

22.【解析】过点A作AD⊥BC于点D，如图所示。

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，

∴AD=BD=AB·sinB=2×=2.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°.∠C=30°，AD=2.

∴AC=2AD=4，CD=AD=2.

∴BC=BD+CD=2+2.

23.【解析】(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H，

在Rt△ACH中，AC=30km，∠CAB=25°.

∴CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈30×0.42=12.6(km).

AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈30×0.91=27.3(km).

又在Rt△BCH中，∵∠CBA=45°，∴BH=CH。

∴AB=AH+BH≈27.3+12.6=39.9(km)。

答:改直后的公路AB的长为39.9km.

(2)在Rt△BCH中，sin∠CBH=.

∴BC==CH≈1.414×12.6≈17.8(km).

∴AC+BC-AB≈30+17.8-39.9=7.9(km).

答:公路改直后比原来缩短了7.9km.

24.【解析】在Rt△ABD中，

∵∠ABD=45°，∴AD=BD=5(m).

在Rt△ACD中，，

∴BC=CD-BD≈12.5(m).

答:BC的长度约为12.5m.

25.【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.

则DE=BF=CH=10m.

在Rt△ADF中，AF=AB-BF=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m.

在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，

∴BC=BE-CE=(70-10)m.

答:障碍物B，C两点间的距离为(70-10)m.

26.【解析】由题意可得∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200米.

则设BD=x米，故DC=x米，

∵CD⊥AD，∠CAD=45°，∴AD=DC，∴200+x=x，

解得x=100(+1)≈273.

答:小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处.