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初中人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径复习课件ppt
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这是一份初中人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径复习课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了问题2，知识延伸，巩固训练，船能过拱桥吗等内容，欢迎下载使用。
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。
1.过⊙内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙的半径是
2.已知⊙的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.
选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
∴ 四边形ADOE为正方形.
∵ OE⊥AC OD⊥AB
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，那么弦AB的弦心距是_____
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 .
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_______
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
２、垂径定理及其推论的图式
常用辅助线:垂直于弦的直径
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。
1.过⊙内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙的半径是
2.已知⊙的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.
选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
∴ 四边形ADOE为正方形.
∵ OE⊥AC OD⊥AB
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，那么弦AB的弦心距是_____
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 .
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_______
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
２、垂径定理及其推论的图式
常用辅助线:垂直于弦的直径
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