2021年九年级中考数学一轮复习17　等腰三角形与直角三角形（通用版）

这是一份2021年九年级中考数学一轮复习17　等腰三角形与直角三角形（通用版），共21页。
17　等腰三角形与直角三角形
基础巩固
1．下列各组线段不能构成直角三角形的是( )
A．2,3,4 B．3,4,5
C．1,1， D．6,8,10

2．(易错题)已知一个等腰三角形一个内角的度数为80°.则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A．100° B．80°
C．50°或80° D．20°或80°
3．(2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )

第3题图
A．50° B．40°
C．30° D．20°
4．(人教八上P8习题改编)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( )
A．16 B．12
C．14 D．12或16
5．(2020·铜仁)已知等边三角形一边上的高为2， 则它的边长为( )
A．2 B．3
C．4 D．4
6．(2020·南充)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( )

第6题图
A. B．
C．a－b D．b－a
7．(2020·呼伦贝尔)如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D.若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( )

第7题图
A．25° B．20°
C．30° D．15°
8．(2020·绵阳)在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝( )

第8题图
A．16° B．28°
C．44° D．45°
9．(2020·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( )

第9题图
A．2 B．2.5
C．3 D．4
10．(2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为( )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
11．如图，在△ABC中，AB＝AC, D，E是两腰的中点，F在BC上，FC＝3BF，连接DF，DF⊥BC．当∠DFE＝30°时，tan∠BDF的值为( )

第11题图
A． B．
C． D．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，则ED的长为( )

第12题图
A．3 B．4
C．5 D．6
13．(2020·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为( )

第13题图

A. B．
C． D．


14．(2020·常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝______°.

第14题图





15．(2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°.

第15题图
16. (2020·淮安)已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边的中线长为________.
17. (2020·台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_______.

第17题图
18. (2020·汇川区第五次适应性考试)《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是________.
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______.

第19题图

20. (2020·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为______

第20题图
21. (2020·黔西南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为______.

第21题图
22．(2020·衡阳改编)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF.

第22题图
(1)求证：△DEF为等腰三角形；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.

第23题图
能力提升
1．(2020·新疆)如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F.若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为( )

第1题图
A．2 B．5
C．4 D．10
2．(2020·德阳)已知，等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为( )
A．2 B．2－2
C．2＋2 D．2
3. (2020·安顺)如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为______.

第3题图

4．如图，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD.

第4题图
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
5．如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.
求证：(1)AE＝BD；
(2)MN∥AB.

第5题图

6．(2020·青岛)如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈)
　　
第6题图　　　　　

7．(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

第7题图








中考预测
1．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边上一动点(不与点A，B重合)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝( )

第1题图
A．5　　 B．8　　
C．13　　 D．4.8
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC.若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是( )

第2题图
A．6　　 B．8　　
C．10　　 D．14
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则CD的长是( )

第3题图
A．6 B．9
C．12 D．

4．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，则第2 020个等腰直角三角形的斜边长是______.

第4题图
5．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，连接CD，则∠BCD＝______度．

第5题图


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若∠EBC＝30°，则∠A的度数为_____°.

第6题图
7．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)．若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为_______.

第7题图




17　等腰三角形与直角三角形
基础巩固
1．下列各组线段不能构成直角三角形的是( A )
A．2,3,4 B．3,4,5
C．1,1， D．6,8,10

2．(易错题)已知一个等腰三角形一个内角的度数为80°.则这个等腰三角形顶角的度数为( D )
A．100° B．80°
C．50°或80° D．20°或80°
3．(2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( D )

第3题图
A．50° B．40°
C．30° D．20°
4．(人教八上P8习题改编)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( A )
A．16 B．12
C．14 D．12或16
5．(2020·铜仁)已知等边三角形一边上的高为2， 则它的边长为( C )
A．2 B．3
C．4 D．4
6．(2020·南充)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( C )

第6题图
A. B．
C．a－b D．b－a
7．(2020·呼伦贝尔)如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D.若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( D )

第7题图
A．25° B．20°
C．30° D．15°
8．(2020·绵阳)在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝( C )

第8题图
A．16° B．28°
C．44° D．45°
9．(2020·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( B )

第9题图
A．2 B．2.5
C．3 D．4
10．(2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为( B )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
11．如图，在△ABC中，AB＝AC, D，E是两腰的中点，F在BC上，FC＝3BF，连接DF，DF⊥BC．当∠DFE＝30°时，tan∠BDF的值为( B )

第11题图
A． B．
C． D．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，则ED的长为( A )

第12题图
A．3 B．4
C．5 D．6
13．(2020·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为( A )

第13题图

A. B．
C． D．


14．(2020·常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°.

第14题图





15．(2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°.

第15题图
16. (2020·淮安)已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边的中线长为8.
17. (2020·台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6.

第17题图
18. (2020·汇川区第五次适应性考试)《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是10.5.
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为7.

第19题图

20. (2020·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为5.

第20题图
21. (2020·黔西南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为2.

第21题图
22．(2020·衡阳改编)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF.

第22题图
(1)求证：△DEF为等腰三角形；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△BED与△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
(2)解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.

第23题图
(1)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－36°＝54°.
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴FB＝FE.
能力提升
1．(2020·新疆)如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F.若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为( A )

第1题图
A．2 B．5
C．4 D．10
2．(2020·德阳)已知，等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为( B )
A．2 B．2－2
C．2＋2 D．2
3. (2020·安顺)如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为4.

第3题图

4．如图，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD.

第4题图
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC.
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°.
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°.
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，
∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，
∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.
①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，
∴α＝125°；
②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，
∴α＝140°；
③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，
∴α＝110°.
综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

5．如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.
求证：(1)AE＝BD；
(2)MN∥AB.

第5题图
证明：(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∴∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD.
(2)∵△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN.
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，∴∠DCN＝60°.
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴MC＝NC．
∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB.
6．(2020·青岛)如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈)
　　
第6题图　　　　　第6题答图
解：如答图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，则四边形CDEF为矩形，∴CF＝DE.
根据题意可知，AE＝5，∠BAE＝22°，
∴BE＝AE·tan22°≈5×＝2，
∴DE＝BD－BE＝6－2＝4，
∴CF＝4.
在Rt△AFC中．
∵∠CAF＝67°，
∴AC＝≈4×≈4.3.
答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．
7．(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

第7题图
解：(1)如答图，过点A作AD⊥PM于点D，延长BC交AD于点E，
则四边形BMNC，四边形BMDE都是矩形，
∴BC＝MN＝16 m，DE＝CN＝BM＝1.6 m.
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE.
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16＋x.
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
∴x≈10.7，
∴AD＝AE＋ED≈10.7＋1.6＝12.3(m)．
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.
(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m，
∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3 m.
减小误差的合理化建议：可以通过多次测量取平均值的方法．
中考预测
1．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边上一动点(不与点A，B重合)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝( D )

第1题图
A．5　　 B．8　　
C．13　　 D．4.8
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC.若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是( B )

第2题图
A．6　　 B．8　　
C．10　　 D．14
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则CD的长是( B )

第3题图
A．6 B．9
C．12 D．

4．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，则第2 020个等腰直角三角形的斜边长是21 010.

第4题图
5．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，连接CD，则∠BCD＝20度．

第5题图


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若∠EBC＝30°，则∠A的度数为40°.

第6题图
7．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)．若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为.

第7题图