2021年九年级中考数学一轮复习19　解直角三角形及其应用（通用版）

这是一份2021年九年级中考数学一轮复习19　解直角三角形及其应用（通用版），共17页。试卷主要包含了2sin45°的值等于等内容，欢迎下载使用。
19　解直角三角形及其应用
命题点1　锐角三角函数
1．(2020·天津)2sin45°的值等于( )
A．1 B．
C． D．2
2．(创新题)(2020·金华)如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β.则tanβ的值是 ____ .

第2题图
命题点2　直角三角形的边角关系
3．(2020·杭州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( B- )

第3题图
A．c＝bsinB B．b＝csinB
C．a＝btanB D．b＝ctanB
4．(2020·凉山)如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )

第4题图
A. B．
C．2 D．2
5．(2020·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为( )

第5题图
A. B．
C． D．4
6.如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：

第6题图
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝，
∴＝.
根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程．

7．难题)小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994 5，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000 0，
sin245°＋sin245°＝()2＋()2＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
命题点3　解直角三角形的实际应用
8．(2020·黔西南)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( )

第8题图
A.米 B．4sinα米
C.米 D．4cosα米
9．(2020·重庆A卷)如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) ( )

第9题图
A．76.9 m B．82.1 m
C．94.8 m D．112.6 m
10．(2020·张家界)“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9 m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6 s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150 m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

第10题图

11．(2020·葫芦岛)如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．(点A，B，C，M在同一平面内)
(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；(结果保留根号)
(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)
(参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73)

12．(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.


13．(2020·遵义)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°，求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计．计算结果精确到0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

第13题图
14．(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号)．

第14题图


中考预测
1．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为( )

第1题图
A.　　 B．　　
C．　　 D．
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点．若tan∠DAB＝，则AD的长为( )

第2题图
A．2　　 B．　　
C．2　　 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则tan∠EDC＝( )

第3题图
A．　　 B．　　
C．　　 D．
4．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？
(精确到0.1米，参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)

第4题图
5．如图，小军要从A处过马路到B处，现有两条路线选择，线路①：横穿马路沿直线AB到达；线路②：沿折线AC，CD，DB经人行斑马线到达．已知AC＝52 m，∠A＝30°，∠B＝50°，马路边线与直线AB，CD互相垂直．若小军遵守交通规则选择安全线路②，和线路①相比，他多走了多少路程？(精确到1 m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20, ≈1.73)

第5题图
6. 如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝8千米，∠A＝45°，∠B＝30°.
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．

第6题图

19　解直角三角形及其应用
命题点1　锐角三角函数
1．(2020·天津)2sin45°的值等于( B )
A．1 B．
C． D．2
2．(创新题)(2020·金华)如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β.则tanβ的值是 .

第2题图
命题点2　直角三角形的边角关系
3．(2020·杭州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( B )

第3题图
A．c＝bsinB B．b＝csinB
C．a＝btanB D．b＝ctanB
4．(2020·凉山)如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( A )

第4题图
A. B．
C．2 D．2
5．(2020·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为( C )

第5题图
A. B．
C． D．4
6.如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：

第6题图
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝，
∴＝.
根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解：＝＝探究过程如下：
如答图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E.

第6题答图
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，即AD＝csin∠ABD；
在Rt△ADC中，sinC＝，即AD＝bsinC，
∴csin∠ABD＝bsinC，即＝，
同理可得＝，
即＝＝ .

7．难题)小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994 5，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000 0，
sin245°＋sin245°＝()2＋()2＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝()2＋()2＝＋＝1.
则sin2α＋sin2(90°－α)＝1成立．
(2)小明的猜想成立，证明如下：
如答图，在△ABC中，∠C＝90°，

第7题答图
设∠A＝α，则∠B＝90°－α，
∴sin2α＋sin2(90°－α)＝()2＋()2＝＝＝1.
命题点3　解直角三角形的实际应用
8．(2020·黔西南)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( B )

第8题图
A.米 B．4sinα米
C.米 D．4cosα米
9．(2020·重庆A卷)如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) ( B )

第9题图
A．76.9 m B．82.1 m
C．94.8 m D．112.6 m
10．(2020·张家界)“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9 m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6 s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150 m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

第10题图
解：设无人机距地面x m，如答图，设直线AB与南天一柱相交于点D.
由题意，得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝＝≈0.75，
∴AD＝x.

第10题答图
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝＝＝1，
∴BD＝x.
∵AD－BD＝AB，
∴x－x＝9×6，
解得x＝162.
∵162>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
11．(2020·葫芦岛)如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．(点A，B，C，M在同一平面内)
(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；(结果保留根号)
(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)
(参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73)

第11题图
解：(1)∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°.
在Rt△AMC中，∵CM＝60，∠ACM＝30°，
∴tan∠ACM＝，
∴AM＝CM·tan∠ACM＝60×＝20(米)．
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米．
(2)在Rt△BMC中，∵CM＝60，∠BCM＝14°，
∴tan∠BCM＝，
∴MB＝CM·tan∠BCM≈60×0.25＝15(米)，
∴AB＝AM＋MB＝15＋20≈50(米)．
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
12．(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

第12题图
解：(1)过点A作AD⊥PM于点D，延长BC交AD于点E，
则四边形BMNC，四边形BMDE都是矩形，
∴BC＝MN＝16 m，DE＝CN＝BM＝1.6 m.
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE.
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16＋x.
∵∠ABE＝22°，

第12题答图
∴tan22°＝＝≈0.40，
∴x≈10.7，
∴AD＝AE＋ED≈10.7＋1.6＝12.3(m)．
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.
(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m，
∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3(m)．
减小误差的合理化建议：可以通过多次测量取平均值的方法．
13．(2020·遵义)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°，求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计．计算结果精确到0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

第13题图 　　第13题答图
解：如答图，延长BC交AD于点E，则AE＝AD－DE＝0.6(m)，BE＝≈1.875(m)，CE＝≈0.346(m)，
∴BC＝BE－CE＝1.529(m)，
∴MN＝BC≈1.5 m.
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5 m.
14．(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号)．

第14题图 第14题答图

解：如答图，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC.
在Rt△DBE中，∵∠DBC＝30°，
∴DE＝BD＝84(米)，
∴FC＝DE＝84米，
∴AF＝AC－FC＝154－84＝70(米)．
在Rt△ADF中，∵∠ADF＝45°，
∴AD＝AF＝70(米)．
答：电动扶梯DA的长为70米．


中考预测
1．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为( B )

第1题图
A.　　 B．　　
C．　　 D．
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点．若tan∠DAB＝，则AD的长为( C )

第2题图
A．2　　 B．　　
C．2　　 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则tan∠EDC＝( A )

第3题图
A．　　 B．　　
C．　　 D．
4．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？
(精确到0.1米，参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)

第4题图 第4答题图
解：如答图，过点O作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，作OD⊥AE于点D.
∵DA⊥AC，OC⊥AC，OD⊥AE，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AD＝OC，
同理可得，DE＝OH.
在Rt△OCB中，∵∠OBC＝45°，
∴OC＝BC.
在Rt△OCA中，∵tan∠OAC＝，
∴≈，
5．如图，小军要从A处过马路到B处，现有两条路线选择，线路①：横穿马路沿直线AB到达；线路②：沿折线AC，CD，DB经人行斑马线到达．已知AC＝52 m，∠A＝30°，∠B＝50°，马路边线与直线AB，CD互相垂直．若小军遵守交通规则选择安全线路②，和线路①相比，他多走了多少路程？(精确到1 m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20, ≈1.73)

第5题图
解：在Rt△ACF中，∵∠A＝30°，
AC＝52 m，
∴DE＝CF＝AC＝26 m，AF＝26≈45 (m)．
在Rt△DBE中，∵∠B＝50°，
∴sin50°＝，tan50°＝，
∴BD≈34 m，BE≈22 m.
∵四边形DEFC是矩形，∴CD＝EF，
∴AC＋CD＋BD－ (BE＋EF＋AF) ＝AC＋BD－BE－AF＝52＋34－22－45＝19(m) .
答：若小军遵守交通规则选择安全线路②，和线路①相比，他多走了19 m.
7. 如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝8千米，∠A＝45°，∠B＝30°.
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．

第6题图 第6题答图
解：(1)如答图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D.
∵CD⊥AB，∴在Rt△BCD中，sin30°＝.∵BC＝8千米，
∴CD＝BC·sin30°＝8×＝4(千米)，
∴在Rt△ACD中，AC＝＝4(千米)，
∴AC＋BC＝4＋8≈13.7(千米)．
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走13.7千米．
(2)在Rt△BCD中，∵cos30°＝，BC＝8千米，∴BD＝BC·cos30°＝8×＝4(千米), CD＝BC＝4(千米)．
在Rt△ACD中，∵∠A＝45°， ∴AD＝CD＝4千米，
∴AB＝AD＋BD＝(4＋4)千米，
∴AC＋BC－AB＝4＋8－(4＋4)＝4＋4－4≈2.7(千米)．
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走2.7千米．